关于“数学”的对话（139）任意n次不可约代数方程的根式解(7)

5次不可约代数方程的根式解

 

（接（138））

 

乙：当m=2; n=5, (1)式即方程：

x^5+{aj x^j, j=0到4求和}=0,                    (13)

甲：啊！！这就到了通常认为不能根式求解的问题。

乙：它果真也能根式求解吗？

甲：我们用类似于解3次不可约代数方程求解的方法试试看。

乙：这就还总可由y=x+a4/5; x=y-a4/5, 将原方程变换为：

y^4的系数b4=0 的形式，即：

y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0,  其中：

b3=10(a4/5)^2-4a4^2/5+a3, b2=-10(a4/5)^3+6a4^3/5^2-3a3a4/5+a2,

b1=5(a4/5)^4-4a4^4/5^3+3a3(a4/5)^2-2a2a4/5+a1,

b0=-(a4/5)^5+a4^5/5^4-a3(a4/5)^3+a2(a4/5)^2-a1a4/5+a0,

甲：可将5次y方程的5个根y0，y1，y2，y3，y4，分别由w1/2，w2/2 (其中：w1=(-1-i3^(1/2))/2,  w2=(-1+i3^(1/2))/2, 分别为x^2+x+1=0,的2个根) ，及4个参量z1，z2，z3，z4，表为：

y0=z1+z2+z3+z4，y1=(w1z1+w1z2+w2z3+w2z4)/2，y2=(w2z1+w2z2+w1z3+w1z4)/2，y3=(w1z1+w2z2+w1z3+w2z4)/2，y4=(w2z1+w1z2+w2z3+w1z4)/2，

乙：就可由方程的各根与各系数的关系，得到：

-(y0+y1+y2+y3+y4) =-(z1+z2+z3+z4+(w1z1+w1z2+w2z3+w2z4)/2+(w2z1+w2z2

 +w1z3+w1z4)/2+(w1z1+w2z2+w1z3+w2z4)/2+(w2z1+w1z2+w2z3+w1z4)/2)

=-(z1+z2+z3+z4)(1+w1+w2) =0, 

甲：因1+w1+w2=0，而此式给不出4个参变量，z1,z2,z3,z4，的关系式，但是，因此，而可仅由4个参变量表达方程的5个根

乙：而且，还得到如下的4个关系式：

b3= y0y1+y0y2+y0y3+y0y4+y1y2+y1y3+y1y4+y2y3+y2y4+y3y4

=(z1^2+z1(5z2+5z3+8z4)+z2^2+z2(8z3+5z4)+z3^2+5z3z4+z4^2)/4,

b2=-(y0y1y2+y0y1y3+y0y1y4+y0y2y3+y0y2y4+y0y3y4

+y1y2y3+y1y2y4+y1y3y4+y2y3y4)

=-(4z1^3+9z1^2z2+9z1^2z3+6z1^2z4+9z1z2^2+12z1z2z3+2(5-w1)z1z2z4+9z1z3^2

+2(5+w2)z1z3z4+6z1z4^2+4z2^3+4z2^2z3+7z2^2z4+8z2z3^2+2(8+w2)z2z3z4

+(9+2w1)z2z4^2+4z3^3+9z3^2z4+9z3z4^2+4z4^3)/8,

b1= y0y1y2y3+y0y1y2y4+y0y1y3y4+y0y2y3y4+y1y2y3y4

=((2w1-1)z1^4-9z1^3z2+(4w2-7)z1^3z3+2(w1-2)z1^3z4-12z1^2z2^2

+(2w2-13)z1^2z2z3-6z1^2z2z4-12z1^2z3^2+4(w1-1)z1^2z3z4+3z1^2z4^2

-9z1z2^3-6z1z2^2z3-9z1z2^2z4-6z1z2z3^2+2(w1-4)z1z2z3z4-6z1z2z4^2

+(2w1-9)z1z3^3+2(2w1-5)z1z3^2z4+3z1z3^2z4+2(w2-1)z1z3z4^2-6z1z4^3

+(2w2-3)z2^4-6z2^3z3+(2w2+1)z2^3z4+6w2z2^2z3z4-12z2^2z4^2

+2(w2-1)z2z3^3+2(w1-7)z2^3z4+3z2^2z3^2+2(w1-1)z2z3^3+2w2z2z3^2z4

+(2w2-11)z2z3z4^2-9z2z4^3-3z3^4+(4w1-7)z3^3z4+6w1z3^2z4^2

+2w1z3z4^3-2z3^3z4+(2w2-7)z3z4^3-3z4^4)/16,

b0=-y0y1y2y3y4

=-(z1^5+2z1^4z2+z1^4z3+z1^4z3+w2z1^4z4+z1^3z2^2+5z1^3z2z3-2z1^3z2z4

+z1^3z3^2+w2z1^3z3z4+z1^2z2^3+3z1^2z2^2z3+3z1^2z2^2z4+3z1^2z2z3^2

-3z1^2z2z3z4+3z1^2z2z4^2+z1^2z3^3+(2-w2)z1^2z3^2z4+3z1^2z3z4^2

+z1^2z4^3+2z1z2^4-z1z2^3z3+(3+w1)z1z2^3z4+3z1z2^2z3^2-3z1z2^2z3z4

+3z1z2^2z4^2-z1z2z3^3-w1z1z2^3z4-3z1z2z3z4^2-z1z2z4^3+2z1z3^4

+(5+w1)z1z3^3z4+4z1z3^2z4^2-z1z3z4^3-z1z4^4+z2^5-z2^4z3+2z2^4z4

+z2^3z3^2+w2z2^3z3z4+z2^3z4^2+z2^2z3^3+w1z2^3z3z4+3z2^2z3^2z4

+3z2^2z3z4^2+z2^2z4^3-z2z3^4-z2z3^3z4+3z2z3^2z4^2+5z2z3z4^3+2z2z4^4

+(1+w2)z3^5+(3+w1)z3^4z4+z3^3z4^2+z3^2z4^3+2z3z4^4+z4^5)/16,

甲：即得：4个参变量zj; j=1,2,3,4,的如下4个方程：

z1^2+z1(5z2+5z3+8z4)+z2^2+z2(8z3+5z4)+z3^2+5z3z4+z4^2+4b3=0,    (1’)

4z1^3+3z1^2(3z2+3z3+2z4)+3z1(3z2^2+4z2z3+4z2z4+3z3^2+4z3z4+2z4^2) +4z2^3+3z2^2(2z3+3z4)+3z2(2z3^2+4z3z4+3z4^2)

+4z3^3+9z3^2z4+9z3z4^2+4z4^3+8b2=0,                              (2’)

z1^4+z1^3(3z2+3z3+2z4)+z1^2(4z2^2+z2(3z3+2z4)+4z3^2+2z3z4-z4^2)

+z1(3z2^3+z2^2(2z3+3z4)+z2(2z3^2+2z3z4+2z4^2)

+3z3^3+3z3^2z4+2z3z4^2+2z4^3)

+z2^4+z2^3(2z3+3z4)+z2^2(z3^2+2z3z4+2z4^2)

+z2(2z3^3+2z3^2z4+3z3z4^2+3z4^3)

+z3^4+3z3^3z4+4z3^2z4^2+3z3z4^3+z4^4+16b1/3=0,                     (3’)

z1^5+z1^4(2z2+2z3-z4)+z1^3(z2^2+z2(5z3-z4)+z3^2-z3z4+z4^2)

+z1^2(z2^3+z2^2(3z3+3z4)+z2(3z3^2-3z3z4+3z4^2)

+z3^3+3z3^2z4+3z3z4^2+z4^3)

+z1(2z2^4+z2^3(-z3+5z4)+z2^2(3z3^2-3z3z4+3z4^2)

+z2(-z3^3-3z3^2z4+3z3z4^2-z4^3)

+2z3^4+5z3^3z4+3z3^2z4^2-z3z4^3-z4^4)

+z2^5+z2^4(-z3+2z4)+z2^3(z3^2-z3z4+z4^2)

+z2^2(z3^3+3z3^2z4+3z3z4^2+z4^3)

+z2(-z3^4-z3^3z4+3z3^2z4^2+5z3z4^3+2z4^4)

+z3^5+2z3^4z4+z3^3z4^2+z3^2z4^3+2z3z4^4+z4^5+16b0=0,            (4’)

乙：由此4个方程，解得4个参变量zj; j=1,2,3,4, 即得：5次y方程的根式解。

甲：具体解法如下，即：

由zj; j=1,2,3,4,和b3，b2，表达的(1)与(2),逐次降幂z1至其1次幂，解得：

仅由zj;j=2,3,4,和b3，b2，表达的z1。

将由此解得的仅由zj;j=2,3,4,和b3，b2，表达的z1，分别代入(3)和(4)，得

到仅由zj;j=2,3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(3’)和(4’)。

 

再由zj; j=2,3,4,和b1，b0，表达的(3)与(4),逐次降幂z1至其1次幂，解得：

仅由zj;j=2,3,4,和b1，b0，表达的z1。

将由此解得的仅由zj;j=2,3,4,和b1，b0，表达的z1，分别代入(1)和(2)，得

到仅由zj;j=2,3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(1’)和(2’)。

 

由zj; j=2,3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(1’)与(2’),逐次降幂z2至其1次

幂，解得：仅由zj;j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的z2。

将由此解得的仅由zj;j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的z2，分别代入(3’和(4’)，

得到仅由zj;j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(3”)和(4”)。

 

由zj; j=2,3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(3’)与(4’),逐次降幂z2至其1次

幂，解得：仅由zj;j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的z2。

将由此解得的仅由zj;j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的z2，分别代入(1’和(2’)，

得到仅由zj;j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(1”)和(2”)。

 

由zj; j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(1”)与(2”),逐次降幂z3至其1次

幂，解得：仅由z4,和b3，b2，b1，b0，表达的z3。

将由此解得的仅由z4,和b3，b2，b1，b0，表达的z3，分别代入(3”)和(4”)，

得到仅由z4,和b3，b2，b1，b0，表达的(3*)和(4*)。

 

由zj; j=3,4,和b3，b2，b1，b0，表达的(3”)与(4”),逐次降幂z3至其1次

幂，解得：仅由z4,和b3，b2，b1，b0，表达的z3。

将由此解得的仅由z4,和b3，b2，b1，b0，表达的z3，分别代入(1”)和(2”)，

得到仅由z4,和b3，b2，b1，b0，表达的(1*)和(2*)。

 

由z4,和b3，b2，b1，b0，表达的(1*)与(2*),逐次降幂z4至其1次

幂，解得：仅由b3，b2，b1，b0，表达的z4。

将由此解得的仅由b3，b2，b1，b0，表达的z4，分别代入(3”)，

得到仅由b3，b2，b1，b0，表达的z3。

再由此解得的仅由b3，b2，b1，b0，表达的z4、z3，代入(1’)

得到仅由b3，b2，b1，b0，表达的z2。

再由此解得的仅由b3，b2，b1，b0，表达的z4、z3，z2代入(1)

得到仅由b3，b2，b1，b0，表达的z1。

于是，解得：5次y方程的解。yj; j=0,1,2,3,4,

乙: 而5次x方程的解就是:

xj=yj-a4/5; j=0,1,2,3,4,                      

甲：还可以看到，与解3次方程时不同，此处求解各参量时，都可逐次降幂到该参量的1次幂，因而，其解的整个过程中，都不含任何根式。

 

（未完待续）

 

乙：而5次x方程的解为：

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