关于“数学”的对话（134）任意n次不可约代数方程的根式解(2) 历史事实

（接（133））

 

乙：请你先说清楚：什么是方程的“根式解”？

 

甲：方程的解中仅含有其各系数的有理运算与根式的，称为该方程的根式解

 

乙：是不是只要带有“根号”的就是“根式”？

 

甲：这正是需要注意的，任意正整数的任意次开方都可计算出为实数，而非“根式”；只是含有参变量的函数的各次开方，才是“根式”。

 

乙：哦！这倒是应弄清楚的。

 

甲：我们就先谈谈求解各次不可约代数方程根式解的历史情况吧！

 

乙：2次不可约代数方程的根式解 早在公元前3世纪，就已得出了吧？！

 

甲：但是，只到公元16世纪，才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。

 

乙：而此后的近3个多世纪，虽有许多人寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能成功。

 

甲：Abel, N.N. (1830) 首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，进而 Galois, E. (1830) 更给出代数方程能够根式求解的判据之后，学术界就似乎已公认n>4的不可约代数方程没有根式解。

 

乙：因而，只能在具体分析其各解所在区域的基础上，数值地逼近，或引入某些特殊函数求解。这当然就给许多实际问题造成不便！

 

甲：其实，按Galois理论，确可证明：方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而阶数>4的对称置换群，及其子群，都是非交换群的单群，是不可解的。

 

乙：因此，此处所能证明的，只是：“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数n*>4时，一般不可约代数方程没有根式解”。

 

甲：显然，只是当其整个求解过程中添加根式的最大指数，n*，等于所解方程的次数n时，才能得出：“n>4的不可约代数方程没有根式解”的迄今似已公认的结论。

 

乙：但是，n*并不必须等于n。若能使n*始终保持小于4，就不能认为：“n>4的不可约代数方程没有根式解”。

 

甲：以下，我们就就要讨论，能与Galois理论并不矛盾地，求得任意n次不可约代数方程的根式解。

 

（未完待续）

 

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