关于微积分

中国科学院 力学研究所 吴中祥

1．基本的概念

早在战国中期，我国哲人庄子及其后学所著道家经文《庄子·，天下》就有名言“一尺之捶，日取其半，万世不竭”， 意思是：一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远也截不完。形象地说明了事物具有无限可分性。

    当然，我们知道任何材料的棍棒，每日取一半，到分子大小之后，就连材料的性质都变了，早已不是“棍棒”，但即使直到最后成为“电子或正电子”已不能再分，也仍然是“万世不竭”，仍然没有“完”，是完全正确的“论断”。

特别重要的是，这已经有了“无穷小”的概念，也就是微分的确切概念！表明：早在战国中期，我国学者就在其著作中，就已经非常明确、形象、确切，地提出了“微分”概念！

现在，我们就在任何1个数量或标量，a，前面加个“d”表示它的微分，就有微分：

da，

我国古代数学家，例如：商高、刘徽、祖冲之，等等，就已经，从对“勾、股、弦，定律”的实际运用，实际上，已对所有的3角函数公式，等的3维直线坐标问题，全面掌握、运用了。

    《九章算术》中已有专门一章对各种实际问题建立方程，求得其解，并有解高次方程的实例。

创造的所谓“割圆法”，已能解决1维曲线坐标的极限积分的问题，祖冲之对圆周率的计算精确到7位有效数字，又能计算得出圆的面积，祖冲之父子对于球体积的研究，还得出球的体积，就表明：我国古代数学家，对“形”的“微积分”研究已发展到了3维平直和曲线坐标的实际运用。

已能解决经典物理学的几乎所有几何学问题。

2. 函数的微积分，须计及其是否连续

对于函数f(t)，的微分，就有：

df(t)/dt，此时，就还必须计及此函数是否连续？！即考虑2个相关的无穷小量：ε、δ，

    如果，从任一变量，t，变到t+ε，相应的函数f(t)变到f(t+ε)，而f(t+ε)-f(t)，能够=δ，函数f(t)就是“连续的”，就有函数f(t)的微分：

d f(t)/dt，例如：

dcosA(t)/dt=sinA(t)dA(t)/dt，dsinA(t)/dt=-cosA(t)dA(t)/dt，  ,…，等等，

如果，变量，在某处，tn，f(t+ε)-f(t)，不能够=某无穷小，δ，该函数f(t)的连续性就终止于该点，而其微分就仅能适用于其连续区。

3. 对于各种不同的物理量，还须计及其各种因素的各种特性

对于不同维数的，不同坐标系(正交、仿射、元包、点阵)，不同坐标(平直、曲线、极),时空和空间的，各种矢量，以及相应的牵引运动变换、矩阵，它们各自的微积分就还须计及它们各自的相关特性，逐个地具体分析确定。

随着各物理量、各相关因素的创新发现、发展、运用，微积分的基本的、基础的概念，也必须随之创新发现、发展、运用。