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公式推导漫忆

已有 3513 次阅读 2017-9-20 09:41 |个人分类:往事钩沉|系统分类:科研笔记| 数学, 记事, 物理, 力学, 推导

从中学开始,我就喜欢数学。喜欢的原因之一,就是不需要硬记什么,都可以推导出来。中学的数学推导都比较平凡。不论是最开始的代数公式、方程的根、三角公式等,都很简单。稍微有一点点技巧性的是等差数列、等比数列的求和公式,其实也属于小技巧想到了马上又平淡无奇。真正有些挑战性的是二项式定理,用数学归纳法证明很容易,但直接推导出来不简单。可以借用数学归纳法证明的思路,将各个系数设为个序列,导出序列满足的公式,相当于数列的有递推式求通项表达式。从中也可以体会,推导和证明其实不完全相同。可以说,中学的代数、三角、解析几何推导都不难。

进了大学,学校课堂上教高等数学。推导大都比较简单。所有公式,我现在应该也能随手推导出来。我自己看数学分析,有些证明还是有些难度。实数的性质,如确界存在原理、聚点原理、区间套原理、有限覆盖原理,给定一个,便能由此证明其余。共有9个证明。利用实数的上述性质,就可以证明闭区间上连续函数的性质,介值定理、最大最小值存在和一致连续性。共有12个证明。这二十多个证明,有的教材里已经有,有的没有,我都写过。我发现自己还是更喜欢推导,不太喜欢这种证明。

物理中,有些是物理定律,有些是数学公式。数学公式就可以推导。首次遇到推导不出的公式是在普通物理电磁学部分,通过任意闭曲面的磁通量为零。如果产生磁场的导线不在闭曲面围成的区域中,推导很简单。如果导线穿过前述区域,但导线为直线或部分圆周等特定曲线,也可以推导,稍微麻烦一点儿,要做个套筒把导线包上,再令套筒半径趋于零。如果是任意曲线,虽然可以用类似思路,但好像遇到什么困难。后来我的任课老师问了其他老师,用场论给个推导。我在《此情可待成追忆3》中回忆过。至于为什么要推导这个公式,只是赵凯华等《电磁学》说,这个公式证明比较复杂,就略去了。

力学课程中,课堂上教的理论力学没有特别具有挑战性的公式推导,或许是比较难的教材里没有。材料力学中的推导我不喜欢,总感觉假设太多,有些不讲道理。弹性力学我在开课前通过了考试,免修了。其中的公式我基本都推导过,当然我们的教学内容比较简单,用徐芝纶编著《弹性力学简明教程》。机械振动也参加了免修考试,但没有达到免修必须的良。其中有许多推导,模态正交性这种比较容易的在通常教材里有。有些更基本的,本征方程根的性质等,例如无阻尼自由振动固有频率的存在性等,都用到了,但没有推导。这些其实都是很好的代数练习。

免修掉的课程还有门“积分变换·数学物理方程”。当时感觉跟高等数学是一个套路的,没有什么特别难的推导。当然,认真钻研会有许多问题。我只是满足于免修考试拿个优秀,没有花很多时间。

本科读书时,我自己学《高等代数》。前面线性方程、矩阵等总体上感觉比较形式化,没有太多实质性内容。线性空间开始,概念上有些意思了。矩阵的各种法式,技巧上有挑战性。我自己独立的推导,现在还能记得,是给出凯莱-哈密顿定理一个比较直接的证明。这个定理书上有证明,我觉得过于巧妙。我给出个比较笨的证明,就是计算,把方阵代入其本征多项式,算出来结果就是零矩阵。从数学角度,我的证明不是好的证明,但我喜欢这种直接的计算。这个证明我好像投稿过,《数学的实践与认识》,当然没有发表。




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