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[转载]又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的

已有 3018 次阅读 2021-1-26 21:04 |个人分类:数学研究|系统分类:教学心得|文章来源:转载

说明:因杨六省老师之邀,现将其《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》一文转载于下,敬请数学行家进行评议,也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

又一新的证据再次表明——

毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明是无效的

杨六省

yangls728@163.com

    笔者在《悖论是什么——70个悖论的消解》一书中,有一个小标题是“毕达哥拉斯学派及后世关于√2不是有理数的证明,是有效的吗?”后来又在网上发了几个帖子,在道理的表述上有改进。此贴公布的观点,是笔者后来发现的。

    我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2q是整数)的形式。下面的蕴涵关系很容易得到证明:对于形如p2=2q2q是整数的表达式,如果p是偶数,则假设条件蕴涵q也是偶数。对此蕴涵关系,有且只有如下两种观点:认可与拒斥。很显然,这两种观点是不相容的,这种不相容性还表现在:对于形如p2=2q2q是整数的表达式,关于上述蕴涵关系,若持拒斥的观点,则q是整数”这一点不会改变;若持认可的观点,由下文“本文作者的证明”可知,可推出q含有无穷多个因数2,这说明q不可能是整数。

    需要说明的是,对于上述蕴涵关系,只进行有限次应用的做法,是不能被接受的,因为这会导致矛盾:同是形如p2=2q2q是整数的表达式,如果不是末尾的表达式,操作者对于上述蕴涵关系持认可的观点;但对于末尾的表达式,操作者却是持拒斥的观点,这种说法的依据是,前者的后面有形如p2=2q2q是整数的表达式紧随其后,但后者则无。

    现在我们就来揭示毕达哥拉斯学派的证明是无效的。基于表达式p2=2q2q是整数的后面紧跟着表达式q2=2s2s 是整数)(见附1),这说明毕达哥拉斯学派对上述蕴涵关系是持认可的观点;但另一方面,由于表达式q2=2s2s 是整数)的后面不再有形如p2=2q2q是整数表达式紧随其后,这又说明毕达哥拉斯学派对上述蕴涵关系是持拒斥的观点。对于同是形如p2=2q2q是整数的表达式,关于上述蕴涵关系,既持认可的观点,又持拒斥的观点,这说明毕达哥拉斯学派在证明中应用了不相容的观点,这是违反一致性原则的,是有效推理所不允许的。

1:人教版数学七年级下册第58页中的证明:

    假设2是有理数,那么存在两个互质的正整数pq,使得

                                    2=p/q

于是                                 p=2q.

两边平方得                           p2=2q2.

    2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

    因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即

                                     q2=2s2.

    所以q也是偶数. 这样,pq都是偶数,不互质,这与假设pq互质矛盾.

    这个矛盾说明,2不能写成分数的形式,即2不是有理数.

 2:本文作者的证明

命题:对于√2= p/q ,其中的pq不可能全是整数。

证明:我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2q是整数)的形式

 p不可能是偶数

假设p是偶数,p=2rr是整数),代入p2=2q2,得q2 =2r2 。如果p2=2q2q是整数)中的p是偶数,那么,q2 =2r2r是整数)中的q是偶数……这样下去,就会推出pq均含有无穷多个因数2(注:例如,关于p,开始假设p=2r;后面还会假设r=2t……),从而说明pq均不是整数,但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾,故对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是偶数。

 p不可能是奇数

理由是,奇数的平方不可能是偶数

综上所述,对于p2=2q2q是整数)而言,p不可能是整数,换一种说法,对于√2= p/q 而言,其中的pq不可能全是整数。

说明:上述证明见拙著《悖论是什么——70个悖论的消解》,汉斯出版社,2020.6. 



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