复杂网络中尺度（mesoscales）并不是今天才提出来的，至少在2006年文献【1】中就明确提到网络的中尺度问题,不过这方面的成果似乎不多，而这个问题又十分重要，因此值得我们深入研究。

复杂网络可以在不同层次用不同尺度去刻画。在小尺度（微观、局部）层次，就是点和边的层次，可以讨论它的度、介数、聚类系数等属性，但是要刻画点和边的动力学就不能孤立静态地分析了。在大尺度（宏观、全局）层次，就是从网络的整体分析其参数的统计规律。文献【1】中指出，在这两种尺度中间，仍然存在一个包含各种不同尺度的很大的过渡空间，这就是所谓的中尺度。这些尺度可以理解为子结构（子图），相对于整个网络而言，子结构有自己的拓扑实体，例如模体（motifs）、小圈子(cliques)、核(cores)、环(loops)，或者更一般地说成社团。这里对中尺度的定义已经有初步的界定。目前对于大尺度和小尺度两头的属性，研究得比较清楚，可是中间层次的属性，很多都还没有搞清楚，就譬如社团发现问题至今仍然存在着争议。实际系统的社团的确定很难做到是唯一的，原因就在于不同的尺度会有不同的划分。

关于复杂网络同步，目前主要集中在给定拓扑结构和动力学后判断网络能否最终达到同步，主要利用主稳定方法和Lyapunov方法（少数利用图方法），至于同步过程表现出来的属性很少研究。它是从大尺度来分析网络节点的集体行为。可以说它是一种只看结果（最终是否同步）不顾过程的研究。实际上同步过程是很重要的，因为同步本来就是一个渐进过程，对它的研究有利于揭示复杂系统的演化机理，有利于理解不同复杂系统的时空差异。

研究网络的同步过程离不开网络中尺度层次，网络中尺度有利于揭示同步过程。要分析清楚同步过程，需要引进能够刻画同步过程的中尺度物理量。本文介绍几篇文献在这方面的工作。文献【2】讨论的是KM振子模型，首先引入了全局序参数和局部序参数，前者刻画全局同步程度，后者刻画网络中同步边所占的比例。通过计算ER随机网络和SF无标度网络在耦合强度增加时这两个参数的变化，发现在开始耦合强度较小时，全局序参数虽然为0，可是局部序参数已经增加，说明虽然全局不同步，但是局部同步已经开始；接下来耦合强度增加时SF网络的全局序参数迅速增加；当耦合强度继续增加时，ER网络的全局序参数和局部序参数都急剧增加而超过了SF网络，说明ER网络的同步是在比较短的时间内发生，不像SF网络同步所需要的时间那么长。文献又引入两个很有意思的参数：GC(最大同步块所包含的节点数目),NC(局部同步块的数目)。发现在开始耦合强度较小时，GC值是SF网络大于ER网络，而NC值是ER网络大于SF网络，当耦合强度继续增加时，ER网络的GC值急剧增加而超过了SF网络，而ER网络的NC值急剧下降而低于SF网络。说明SF网络由于存在hubs节点，它的同步是以hubs为中心凝聚方式趋于全局同步，而ER网络由于节点度较均匀，它的同步是以许多小社团分别同步开始，然后在比较短的时间内这些小社团相互趋于全局同步；SF网络由于节点的不均匀性，大多数节点的度值较小，这些度很小的节点达到同步所需要的时间更长，所以造成SF网络完全同步所需时间大于ER网络。可见度分布的不同造成同步过程和方式的差异。文献计算了网络中不同度的节点属于最大同步块的概率，发现度大的节点即使在耦合强度较小时属于最大同步块的概率仍然很大，而度小的节点即使在耦合强度较大时属于最大同步块的概率仍然很小。所以可以概括为以下几点：（1）不同结构的网络其同步方式和过程是完全不同的，SF网络的同步是以hubs为中心凝聚方式趋于全局同步，边缘点（度小的节点）影响同步时间，而ER网络的同步是以许多小社团分别同步开始然后相互趋于全局同步。（2）同步是从度大的区域开始的，对于SF无标度网络尤其明显。由于实际网络大多是无标度网络，是否可以说现实的复杂系统的集群行为是从密集处开始。（3）SF无标度网络完全同步所需时间比ER随机网络长。

文献【1】研究了复杂网络在中尺度意义下趋于同步的动力学过程，在KM振子模型基础上引入振子对的相关性来刻画同步程度，还分析分层社团结构的网络的同步过程以及特征值谱的分布。

我们在最近的工作【3，4】中研究了网络的脉冲广义同步和自适应广义同步，从误差方程入手证实了广义同步是从度大的节点开始，从时间演化和随耦合强度变化两方面得到了网络广义同步过程也存在类似于【1，2】的结论，同时研究了网络参数和动力学参数对同步过程的影响，还发现失同步区间的出现。

 

[1]Alex Arenas, Albert D?az-Guilera, Conrad J. Perez-Vicente, Synchronization processes in complex networks, Physica D 224 (2006) 27–34

[2]Jesus Gomez-Gardenes, Yamir Moreno, and Alex Arenas，Paths to Synchronization on Complex Networks，PHYSICAL REVIEW LETTERS 98,034101 (2007)

[3] Juan Chen, Jun-an Lu, Xiaoqun Wu, and Wei Xing Zheng，Generalized synchronization of complex dynamical networks via impulsive control, CHAOS 19, 043119 (2009)

[4] Hui Liu , Juan Chen, Jun-an Lu, Ming Cao，Generalized synchronization in complex dynamical networks via adaptive couplings ,Physica A 389（2010） 1759-1770

 

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