6.4第6章第3节降水统计力学—气象统计学私探（29）

张学文，2020 10 12 基于1985-2006-10-28的文稿，

  §3点雨量的分布律

在幼儿浇花，降水量的面分布、降水强度的时间分布这三个问题中我们使用了同一的统计模型，并得出了类似的公式。它们的统计模型是一致的。但具体物理含义则相差很大。这里我们看到恰当地构成一个物理问题是件十分重要的事。不会恰当地把气象问题纳入这一著名的统计模型，则会认为统计物理的这些思路与气象无关。当然也有人认为我们这种几乎没有引入多少气象假设就导出一系列结果的做法不可思议，认为这岂不会是随便找来两个量就说他们是负指数关系?！

我们认为统计物理引入气象学是件很有意义的事，但绝不是件轻易的事。我们的力气就用在如何恰当地构成一个统计问题，它在气象上是十分接近实际的，它在统计物理上又是可以借用已有成果的。

如果把一次降水过程造成的总降水量x看成随机变量。这样就会有一个随机变量x遵守什么概率分布的问题。说的通俗一点，就是一次降水过程它的降水量x出现各种不同值的机会各是多少的问题。

我们仍然把这个问题归入前面一再引用的模型去解决它。

为了把它构成一个上述的统计模型，先让我们设想在N次独立的降水过程中总计形成的降水量为X（是大写！）．这里的N是个充分大(例如5万或5 0万…)的数字。我们把N次降水形成的平均雨量用表示，那么有

    （6.37）

如果在N次降水中把雨量从最小到最大以等差级数排列起来，我们有x₁ ，x₂ ，x₃ ，x₄ ，……，x_i ，……x_k这么多个值来标记它。这里x₁为降水量最小档，x_k为降水量最大一档。如果相邻的两个x值仅相差0.1mm，那么实测的任何降水量必然归入从x₁到x_k中的一档。

即各x的值对应的降水量为

x₁ ，x₂ ，x₃ ，x₄ ，……，x_i ，……,x_k

↓　↓　↓　↓　　　　↓　　　 ↓

0.1,0.2,0.3,0.4,……,i/10,……,k/10

在对N次降水记录作整理时，我们可能得出有253次的降水量为0.1有46次为52 mm，一般地，我们说有n₁次的降水，其降水量为0.1(即x₁)，有n₂次的降水，其降水量为0.2(即x₂)……从面我们又得出如下两串对应数据：

x₁ ，x₂ ，x₃ ，x₄ ，……，x_i ，……，x_k

↓  ↓  ↓  ↓   …… ↓ ……   ↓

n₁ ，n₂ ，n₃ ，n₄  ，……  n_i ，……，n_k

即不同的雨量在N次降水中各占有不同的出现次数n。显然，各个n相加应当等于N，即

  （6.38）

而N次总降水量X应当为n_i与x_i乘积值的和，即

利用（6.37）也可以写为

       （6.39）

实际前边给出的一串关系和这里的式子与我们研究时面深问题用的符号不仅一敢而且关系也一致[对比公式(6.2)和(6.8)式与(6.38)和(6.39)式]。这说明尽管前后两个问题中的n的含义不同，但它们的形式关系或说统计模型相当一致。

公式(6.38)和(6.39)实际上是两个约束条件。现在我们可以把整个问题考虑成：

对于N次独立的降水过程来说，大气过程对任一种降水量都无任何偏爱。在(6.38)和(6.39) 式约束下，大气会形成任何许可的n₁ ，n₂ ，…，n_k。

但是根据在前一章给出的模型中知道。在各种分配总水量X的方案中有一种方案是最易于出现的。在这种最容易出现的方案中(最可机)n与x的关系应当是与(6.13)式完全一致，即

     或者写为

  （6.40）

这个式子的含义是某地的过程平均降水量为时，在N次(充分大)独立降水过程中其雨量为x→x+Δx者如为n个，则n的最可能出现值由这个式子可以算出来。

仿照与前面类似地分析我们可以定义

      （6.41）

根据前面的讨论，这个f(x)应当称为降水量是其出现次数的函数。这个词用起来不大方便。然而从(6.40)式看f(x)确实表示了降水量增加单位值时(Δx=1)降水次数增长的比值。换言之，f(x)就是随机变量x的概率密度分布函。数据此我们把f(x)称为降水概率密度分布函数。

(6.41)告诉我们对于每一次的独立的降水过程而言，降水量的概率密度为一个负指数函数。这样就从统计物理模型中为古老而一直没有理论解的降水概率分布问题提供了一个答菜。

“每一次独立的降水过程”这个用语的含义是我们得到的公式对于一次次的独立的降水过程是适用的，而这就不允许我们随便地把日降水量或3小时降水量也一定遵守这个公式，也不能把一旬内的几次降水总量做为这里的x来看待。

在不少场合预告人员会清楚地分开那些降水算是一个独立的降水过程。当然天气过程复杂时就分不了那么清楚。

因此我们得到的方程是否符合实际就不能随便地用日雨量的概率分布或一小时、一旬的雨量分布作验证。而应当正式选用大批的独立降水过程的降水量做样本来验证。

为了对得到的降水概率密度分布函数进行实际验证，而又进行的比较方便，这里引用新疆的多雨地区的昭苏作例子。结合这里进行的天气过程的一般特点。我们笼统地把48小时的降水量看成是独立的降水过程所形成的降水量。

新疆的伊犁地区的昭苏气象站七月份的降水过程平均雨量为8mm(实为有降水时，连续48小时的平均雨量)。如果让Δx=4 mm即降水间隔取为4mm，那么（6.40）变成

取自然对数可得

这表明降水量出现于x±2 mm的范围内的频率n／N的自然对数与x成直线关系。为了清楚地看出实际上n／N与x是否遵守上述关系，我们把n／N，x的实际关系与理论关系统一地绘在图6.6中。横坐标为降水量x，纵坐标为n／N的自然对数。从图中可以看到实际的点子与理论上的直线吻合的相当好。这说明当地4 8小时降水量是很符合最可机理论给出的负指数分布关系。

图6.6

在《气候统计》(6.4)一书中么枕生教授对上海6月份每日降水的累积频数作了统计。当他制作一张累积频数与日雨量的关系图时发现累积频数取了对致以后与降水量有良好的直线关系。他给出累积频数(≥x)的常用对数(Y)遵守如下方程

Y=2.81-0.0255x

稍加变换上式就变成了累积频数与降水量呈负指数关系。这个实验关系与我们导得的结果是否一致呢?

我们注意到么枕生教授对频数是从最大的一侧累积的。这意味着我们要从导得的概率密度的负指数分布导出最大一侧累积的降水概率应当从正无穷大向x对降水做积分，依（6.41）有：

这表明从我们的理论中可以推导出来么枕生教授计算的那种累积频率应当也遵守负指数关系.换言之么枕生从上海降水中得出的经验关系同样证明了我们这里推出的理论关系是正确的。这是降水最可机分布的又一例证。

应当说我们给出的实例不算多，欢迎读者引用更多的资科验证这个关系。

在选上述实例时我们仅利用了七月份的资料。这里除了七月降水比较多以外还包括着选同一时期的资科时降水过程的平均降水量是比较稳定的特征．如果春夏季的平均值并不相等，我们混在一起统计就容易引出其他问题。有人也会进一步补充说最好是选用相似的天气过程造成的降水量作统计，这或许会更好一些。在我们的统计中没有作到这么细。但这一层考虑还是有道理的。七月份的实测结果与理论关系拟合的如此之好使我们推测或者七月当地的天气过程都较为相似，或者我们的公式本身就有能力概括不同的天气系统形成的各式各样的降水过程。

从理论上论证单点降水遵守指数分布是廖树生同志首先完成的。这大约是70年代末的事。他完成的“降水指数分布律的证明”一文刊于新疆气象1981年第四期的l-5页。他的这一思路为作者提供了一个把统计物理应用于气象问题的实在例子。这对于促使笔者开展这方面的工作是有开导意义的。

由于这个例子不如我们先前那几个那么容易理解，所以在论述上把它放在稍后的位置。这对读者系统地理解统计思路可能更方便一些。