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6.1第6章降水统计力学—气象统计学私探(26)

已有 1551 次阅读 2020-10-4 17:48 |个人分类:统计气象学19|系统分类:科研笔记

6.16章降水统计力学气象统计学私探(26

张学文,2020 10 04  基于1985-2006的文稿,

 

第6章:降水统计力学   2006-10-28

上一章对一个统计模型作了比较细的讨论。这里想巩固一下上一章的认识,看看它如何用到某些气象问题上。

 

本章讨论的气象问题主要涉及降水。降水一直是气象上的难题。也是与群众生活、经济活动密切相关的问题。气象学过去从动力学角度对此尽管作了不少努力,也有不少成绩,但仍有相当多的经验性成分,难以从一个合理的假设逻辑地推出它就应该如此或者如彼。现在我们引入这个统计模型加上少数可以接受的假设,就可以逻辑地导出一系列理论结果.而这些结果解决了过去动力理论几乎抓不住下手点的某些难题。这对我们是鼓舞。

 

    在这一章中我们将讨论如下四个问题.:    -

l  一个天气系统在它的生命史中降在地面上的雨量在面积上的相对分布的最常见的形态是什么?

l  某地在一次降水过程中,各种不同降水强度各占多大比例?

l  一个地点在一次天气过程中所测得的雨量遵守什么分布,为什么?

l  不同天气过程在其生命史中降落的总降水量遵守什么分布,为什么?!

§l降水的时面深问题之一  (一场降水过程的雨量与面积关系)

作者曾长时间从事天气预报工作。每次天气过程结束时都要在地图上填好每个点的总降水量,进而像绘地形等高线那样地绘出一张等雨量线的分布图来。

在这种图上很容易看出那里下的雨大那里小,或者没有下雨。说它是分布图是很自然,很明白的。人们进一步分析它还可以从这个图上算一下有多大的面积下了暴雨,有多大的面积下了大雨,中雨或小雨。这只要有地图的比例尺和一个求积仪就可以了。

 

 用求积仪计算出不同雨深的降水区各占了多大面积,这在水文上常称为降水的面深关系。雨量在面积上的分布和降水强度在时间上的分布合起来被水文工作者称为降水(尤其是暴雨)的时面深问题。

 

气象工作者好像对于如何预告一个天气过程形成的降水的时面深感兴趣;而水文工作者对业已出现的时面深的内在关系感兴趣。水文工作者在这方面经过辛苦努力收集了十分丰富的实测瓷料,也从归纳出一些有地域性经验性的规律;遗憾地是动力学没有对此问题正面给出什么理论说明。

 

现在我们要从前述的统计模型引出最一般地降水面积-深度关系。而这个降水的面积与深度的关系问题又可以作为理解前面介绍的模型的好个例。

 

1.1雨深的面积分布

设想在地球上我们布置下足够多的雨量筒分布在各地。每次天气过程结束以后我们可以从雨量筒中积水深度求得(当然是在一定精度下)任何一点的降水深度x。当然也可以进而算出这个天气过程总共造成的降水面积A(2006注:原书有一个1959年7月4-7日新疆暴雨的雨量分布图这里从略了)

有了降水面积AA面积内每一点的降水量x还不难求出总降水的水体体积V。用面积A除总降水的水体体积V即得这个天气过程在雨区内的平均降水深度x,即有

           (6.1)

现在设想在降水过程笼罩的面积A上共有N个测雨深的雨量桶。N这个值可以非常大(雨量桶非常多)而且它们是均匀地分布在面积A上的。对于每一个雨量桶它仅能有一个确切的的降水量值。它必然属于0.5±0.5,l.5±0.5,2.5±0.5,3.5±0.5这一组降水区间中的某一区间。如果对上述区间依次用x1x2x3x4……标记它,我们就可以统计出降水量出现于x1区间者有“n1个雨量桶。降水量属于。x2x3x4…区间者依次有n2n3n4……个雨量简。这样对于每次降水过程我们可以得到如下的一组…对应的数据:

x1 x2 x3 x4 ……,xi ,……,xk

↓  ↓  ↓  ↓   …… ↓ ……   ↓

n1 n2 n3 n,……  ni ,……,nk

这里xk 是测得的最大的雨量值。nk是雨量为xk者的雨量桶(雨量站)的个数。这个关系表示了降水为xi的(i=l,2 ,…)有ni个雨量筒。

显然在降水区内共有N个雨量筒,它应当是。n1 n2 n3 n4,…的合计值,即:

      (6.2)

还应当记得这N个雨量筒是均匀分布在面积A上的.所以每个雨量值所代表的那一小块面积都是一样大的。我们把它代表的这块面积以ΔA表示,那么ΔAN相乘应当等于总面积A即有

    (6.3)

   (6.4)

总降水的水体体积V可以看成各种雨量xi与它所对应的面积的乘积值的和。这个面积则是“niΔA的乘积。所以应当有

  (6.5)

利用(6.1)和(6.2)还得到:

  (6.6)

  (6.7)

(6.8)

现在把个雨量筒(均匀分布在降水区内)编号为第l号,第2号……,第号,如果降水为x1者共有n个雨量筒,那么它会是个中那n1个呢?在显然存在着很多种组合方案。在数学上我们知道从个中任意取n个的办法共有个。这里

     (6.9)

如令=l,则表示降水为最小的那一组如果(请注意这里不是观测到,而是分析者的假设)有n1个雨量筒,那么实现这个结局的办法就应当有N!/n1!( N- n1)! 这么多个。分析者可以改变n1这就有更多(或更少)个实施办法。

有了n1个点的雨量为x1,那么还可以问雨量为x2者如果有n2个那会有多个个实现方案?仿照先前的思路,对于余下的N- n1个雨量点显然有(N- n1)!/ n2!( N- n1- n2)!个买现办法。

致此我们还会问雨量为x1者如为n1个,雨量为x2者如为n2个共有多少个实现方法?这显然是前述的两个方法数的乘积值即为

     (6.10)


依此思路下去我们还可以追问如果

雨量为x1者为n1

雨量为x2者为n2

…………

雨量为xk者为nk

会有多少个实现方法呢?这显然依上述办法递推下去就可以了。如令实施这种结局的方法数为S,我们可以得出

  (6.11)

把(6.9)代入得

    (6.12)

人为地对n1 n2 ,……n取不同的值,就有不同的值,即不同的一串n1 n2 ,……n实现它们的方法的个数是不相同的。或说S是n1 n2 ,……nk的函数。

 

我们说n1 n2 ,……n的值是由人任意地取从而有不同值。但这样做也还要顾及两点。一点是这些ni相加要恰好等于N

另一点是各nixi的乘积值的和应当等于平均雨深N的乘积。即要满足(6.2)(6.8)式我们可以把这两个式子看成两个约束条件。 

 

我们一再声明n1 n2 ,……n取什么值是分析者的自愿行为,在数学上我们说它是自变量。但这些与客观降水过程有什么关系呢?也可以说我们还没有把它们全联系来。

 

我们任意地设有n1个点雨量为x1 n2 个为x2…而且  在N个点中取那个点被归入x1,那个点归入x2,也认为是完全平等的。即认为任任何一个点不会偏爱出现过大的降水或者过小的降水。这对应一个什么含义呢?这是说每一个点出现大雨或小雨的机会是相同的。或说各点在降水的这种特性上是一样的,均一的。

 

我们只有接受这个假设才好沿着前面的思路再向前走。这就是说(6.l2)式是在每个点(每个雨量筒所在地)出现各种雨量的机会都相等的场合下才成立。这也就是说我们研究的情况是属于“各种单态的出现机会都相等”的范畴的。

   n1 n2 ,……nk这些自变量在满足(6.2)和(6.8)的场合下取不同的值,S就有不同的值。如果各种单态出现的机会都相等,n1 n2 ,……nk出现那一串值时S的值特别大?如果有那那么一串n1 n2 ,……nk值使S非常明显地比其他各种n1 n2 ,……nk系列的S值大,那么这就意味着使S达到极大的那一串n1 n2 ,……nk是最容易出现的。

 

细心的读者不难看到我们讨论的问题几乎和前面仔细讨论的小孩子浇花问题是非常相似的。这里总降水V就是那里的总水量(50升)。这里的N个雨量筒就是那里的N盆花.而那里的小孩子就是这里的天气过程。在那里我们假设小孩子任性地浇花,结果有的花盆中水多,有的很少。而多的与少的占的比例有一个最容易出现的关系。大气过程能否看成完全任性的把一批雨水抛向大地?读者暂不要抗议,让我们估且接受这个假设看看有什么结果。

 

由于S的表示式与第上章中的完全一致·而且求S的极大值时∑n=N[这与前面的(5·3)式是一致的],这样重复前面的数学推论我们可以得出


这个式子给出了最客易出现的一串ni值要求降水量出现于xixi+Δx时在这—范围内的雨量点应当有ni个。

实际为任何值时上式都是成立的。所以我们可以省去这个下标而写为

    

利用关系,还可以写为

      (6.13)


A是总的雨区面积,nΔA就是雨量在xixi+Δx范围内者占有的面积。所以上式表示我们已经找到了(针对一场降水过程)雨量与面积的理论关系。这种关系是在大气任性把降水抛向地面时最容易出现的结局。即它出现的概率是最高的。因而也可把这称为最可机的降水量(雨深)与面积的关系。

从上式中我们看到nΔAA的含义是一个相对面积,而,这个的函数在数值上等于降水增加单位值时(即Δx=1)它占有的相对雨区的增加值。据此我们把它称为最可机的雨深面积函数,并用f表示它即

   (6.14)


公式(6.14)表示(针对一场降水过程)最可能出现的雨深面积关系。它正是我们要寻找的公式。它表明某降水量级所占的面积与降水量x成负指数关系。即降水量很小的占的相对面积最大,降水非常大的仅占很小的面积。其函数图形见于图6.1中。注意fa(x)的因次是降水量的倒数,即x-1

 

这一公式的正确性有待用实测资料验证。这留到后边再进行。最后值得补充的是我们得出的雨深面积函数(6·14)式实际上是解决了面积的相对分布问题。它没有回答这一场降水的总面积应该是多大,它用求相对面积(比值)的办法回避了这个问题。而这也确实是应当由其他方法来研究的问题。

 

再者这个式子也没有具体回答在雨区内那些地区雨大,那些地区雨小,这些似乎天气学、气候学或许好解决的问题。这是说(6.14)式可以告诉你在总雨区A内有多少平方公里的面积上有暴雨-但它说不出它位于区域A的那些部分。而且在它看来这完全是任意的。或者说是本降水模型无力回答的问题。

 

6.1 一次降水中的相对降水量与其相对的笼罩面积的关系是负指数函数

有了(6.14)式是个进步,我们应该尽量地利用它。当然,仅仅依靠它远不能解决全部降水问题。

 




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