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发信人: littless (littless), 信区: Science
标 题: some tales of mathematic!ans(244)
发信站: 水木社区 (Tue Aug 5 14:05:16 2008), 站内
Hilbert在1900年提出的著名的23个问题中最简单的是第三个
问题,即为了避免在割补过程中使用阿基米德公理,是否可以
把两个等底面积等高的四面体分别分割成有限个四面体,使这
两组四面体分别对应全等?这个问题第二年就被德国数学家Dehn
所解决,Dehn构造了两个等底面积等高的四面体,它们不可能
分割成要求的小四面体,但是这个问题在平面上却有不同的情
况:任何两个面积相等的多边形可以分别分割成两组有限个三
角形使他们对应全等
还有一个有趣的类似问题,可以证明一个矩形可以用无穷多种
方式分割成有限个不相等的正方形的充要条件是这个矩形的两
边长度之比是一个有理数,但是对于长方体不存在一种方式使
它可以分割成有限个不相等的正方体,证明十分简单:假设长
方体可以分割成有限个立方体,则在长方体的一个面上,这个
矩形被分割成有限个正方形,取其中最小的那个,容易看出最
小的正方形不能靠边只能在矩形的内部,因为这个正方体被四
周的正方体包围,所以最小正方体的顶面必须又产生一个分割,
仍然取分割中最小的正方形,重复这个过程,永远不能终止,
这与正方体的有限性矛盾
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