10.8 偏线性

   上一节说了，张量是一种多重线性结构，相当于多个线性空间的外部乘积。既如此，张量的某个子层次，则应该是线性空间。

   数学而言，这叫做“偏线性”，即多重性函数的某一个自变量y单独作线性变换，等于函数作相应的线性变换。数学形式如下：

   几何直观如下：

   图形含义是，x是一个一维线性空间，y是另一个一维线性空间，x×y组成一个双重线性的张量空间。

   y空间对于x×y张量而言，具有偏线性。

   请特别注意上图中的平面S，这是“双重线性”（张量）结构的基础，可以视为系统的约束条件。一般而言，如果系统不是一维线性空间的外积，而是无穷维线性空间的外积（张量），约束条件S不一定是平面。

   如果系统是线性时不变的，则约束条件S一定存在。它可能是这个样子的：

   也可能是这个样子的：

     还可能是这个样子的：

   更多时候，可能根本无法几何直观图形表达S，但是有数学表达式显示类似的这种粒子化约束条件：

   有时候约束条件S或者是这样的：

     更一般的，约束条件S是这样的：

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  关于张量空间偏线性问题，补充一点也许有意义的看法：

  一般认为，薛定谔方程概率波的含义是量子态本征值x在实体位置坐标{x}上的“坍塌”投影值。在某个特定点，当我们能够观察到实体位置坐标{x}，意味着{x}和x处于同一本征态取同样的本证值集。如果我们厘清量子态本征值x和实体位置坐标{x}，也就基本明白了“坍塌”的含义。究其本质，量子态本征值x和实体位置坐标{x}具有偏线性关系（相对于量子态张量而言）。

  进一步分析，可以发现量子“坍塌”的实质在于，位置算符本征值x远远多于是粒子实体位置坐标{x}，因为本征值x多达阿列夫2级无穷大、而实体位置坐标{x}只限于阿列夫1级无穷大取值。当我们通过低维度的实体位置坐标{x}来观察高维度本征值x时，类似守株待兔现象、类似抽奖、类似掷骰子，一方面看到的是概率性，一方面貌似维度“坍塌”（只看到分量、而看不到全貌）。请注意，这是维度“坍塌”、而不是本证态“坍塌”，否则就会出现薛定谔猫谬误了。

  本征值x与坐标{x}具有偏线性关系：实体位置坐标{x}是本征值x积分值，实体位置坐标{x}是数学期望值、微分因子投影是本征值x，见下图：

  当然，实际的情况并不一定是特征值x的直接积分，更可能是x的某个函数的积分（数学期望）值，如下图。因为x是概率值，所以其积分称为数学期望。

 进一步分析，假如函数f(x)是-id/dx ,即坐标本征值x实数化的微分 ，那么正好相当于傅里叶对偶空间的动量p ，这也许更有意义，因为这符合波粒二象性原理，。

 所以，个人认为，严格的说“坍塌”测量还有一个重要特征，它观察值和数学期望值分别表达了傅里叶对偶空间。实际的情况是，见下图，等式左边的<p|X>由等式右边的无数个<q|X>数学期望值得到。

  注意：上面这个等式左边是空间粒子实体动量{p}，等式右边是量子态位置本征值q ，请仔细看，上式相当于量子态位置本征值q的集体“坍塌”成的数学期望是空间粒子实体动量{p}

   同样道理，动量本征值p的集体构成的数学期望是空间粒子实际坐标{q}，如下图：

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   我们知道，虽然大脑脉冲具有不同层次的线性关系，但大脑的意识只有一个（“一心一意”）。大脑意识可以看作约束条件S下的“粒子”轨迹，而脉冲是不同层次（偏线性）的波群，所以大脑思维过程可看作某种波粒二重性逻辑。

   类似的，关于‘偏线性’与‘约束条件’的意义，在“深度学习”人工智能应用中更加具有指导意义。

   比如，深度学习人工智能对于图片和自然语言的理解，是一个自主学习的过程。这个学习的关键是如何恰如其分的抽象概念，谷歌大脑能够在大量图片训练下独立形成“猫”概念，微软小冰也能够在大量语言训练下独立形成“搞笑”概念。

   多层次性结构的“深度学习”模型中，“猫”或者“搞笑”等抽象概念是张量表达的。 训练的关键是，是从偏线性的单层线性空间的构件，抽象到整体的约束条件的张量模型概念。

   比如，把自然语言数字化，那是当年哥德尔的绝招，很容易实现。但是哥德尔同时也说，仅仅如此是不够的，因为线性空间的不完备性。

   不过“深度学习”模型的实践告诉我们，线性空间的不完备性并不能阻止谷歌大脑自主形成“猫”概念。

   比如，谷歌大脑可以不断的外积不同层次特征表示的属性（横、竖、撇、捺等edges像素特征图；猫的子结构‘眼睛’、‘鼻子’、‘嘴巴’、‘四肢’、‘尾巴’等特征；黄猫、白猫、黑猫1000x1000像素特征图等等），然后“复合”这些猫的偏线性的特征属性，构建多层次线性空间张量，最后找到与猫属性匹配的特征约束条件，从而自主理解“猫”的抽象概念。

    上图是单词层线性空间，下图是语句层线性空间。深度学习正是通过复合多层次线性空间的偏线性特征，找到与对象体属性匹配的约束条件的。

    大致过程如下：

    一堆原始数据－－>首先找到数据间的线性关系－－>然后把某一层次的线性特征作为某个抽象概念的“偏线性”特征－－>再与另外层次的特征线性空间外积成张量模型的某抽象概念－－>检验此抽象概念（属性约束条件）和实际对象的误差－－>不断外积另外层次的特征线性空间－－>直至此抽象概念和实际对象的误差至可容范围内