8.5 逻辑的层次

 
   兵对兵、将对将、钉对钉、卯对卯，一目了然，同一个层次的事物之间天然就有对应关系。

   比如前面提到过的，亚马逊森林的生态循环，初步分析就很容易发现有些生物种群间生生相惜的食物链轨迹，熊吃鲟鱼、消化排泄、滋养大树：
   鲟鱼 --> 熊 --> 树

   还有同学把中世纪大事件一个个串起来，发现文艺复兴的起因来自于成吉思汗西征的逻辑轨迹：
   成吉思汗西征 --> 蒙古大军横扫中亚 --> 黑死病随着人口迁移带到欧洲 --> 黑死病在欧洲猖獗 --> 很多神父修女与大众一起绝望中死去 --> 怀疑上帝的存在 --> 否定神性 --> 宣扬自己掌握自己命运 --> 人本主义 --> 文艺复兴

   龙生龙、凤生凤、耗子儿子会打洞。这是显而易见的，同一层次的概念易于形成简洁清晰的逻辑关系。

   不过，有时候问题可能并不总是如此简单的点轨迹逻辑，也许需要涉及更深层次的诸多要素才能一窥渊源。
   如果历史学家想弄清楚“当年蒙古大军横扫世界打遍天下无敌手，是因为对手偶然的军事决策失误，还是因为诸国真的实力不行呢？”这个课题要做得扎实，需考证那个时期很多与军事相关的要素，比如各国的青壮年男性人口状况（多少郡县有多少青年壮年、多少兄弟姐妹、多少老弱病残负担等等）、存栏马匹状况（多少汗血马、能跑多远、每天吃多少草料等等）、锻造武器状况（铁矿石分布、运输工具、打铁工等等）、冗余的社会财富（生产多少、消耗多少、吃的花销、穿的花销、住的花销、行的花销、宣纸的花销、烟粉的花销等等）等等要素（子要素），这些明细的要素都是战争成败的关键。但每一个这种明细要素都不是决定成败的唯一原因，它们共同起作用于战争，所以它们是战争成败的子因素。
   请注意，子因素和母概念不是同一个层次的逻辑。

   中国古代有一种天子规格的椁室，叫做“黄肠题凑”。
   黄肠是指黄心的柏木条，题凑是指木条一层层平铺叠垒。（这是汉字‘题’的最原始的含义，是指枋木的端头。）端头凑在一起，大量木条堆砌成墙面，因为四壁所垒筑的枋木与同侧椁室壁板面呈垂直方向，若从内侧看四壁都只见枋木的端头，所以称为黄肠题凑。

   关于“题”为‘端头’的原始含义，现代人很少有人知道了。 现在大家对“题”字的理解基本源于题目、主题、题材等等。其实题目、主题、题材等词语的也都隐含了题字的最初含义，即端头。一根木条的端头点为题，木条的身躯为材。恰似一篇文章的主题思想和文章的内容的关系、一个中心论点和一长段论据的关系。

   黄肠题凑正好体现出0维度的“点”、1维度的“线”、2维度的“面”的关系。木条线的端头为点，椁室面由一根根的木条线码堆而成。 这是我们的先祖对几何学最初的运用。
   所谓“思维”即客观世界在我们主观大脑中的投影。相较于黄肠题凑的“点”、“线”、“面”的关系，客观世界很多事物都有明显的层次性；相应的，人类思维自然会体现层次性，所以我们写文章总是一个主题思想下的长篇幅论据内容，然后一个个小节汇集成章回、一个个章回汇集成课本，类似于端头凑在一起，木条堆砌成墙面。

   古人早就发现，尽管处于不同的维度层次，但是“点”和“线”是有逻辑关系的，“线”和“面”也是有逻辑关系的，如同“黄肠题凑”展示的那样。

   不同层次的概念的逻辑关系一般并不显然，复杂变幻莫测，往往需要我们花费大量时间训练才能意识到。比如：
   在小学阶段，我们学习有限的几个点到一个点的演算：S=1+2+3
   在中学阶段，我们学习很多离散点到一个整体点的演算：S=∑an
   在大学阶段，我们学习连续无穷微分点到一个积分点的演算：S=∫f(x)dx

   在广义黎曼空间闵氏度规下，10维时空流形 = n阶4维张量

   更加复杂的是，常常一个“点”概念，换一个角度就变成了“系统”概念。比如，地球在太阳系中是一个“点”，但是地球对于生长其中的人而言则是一个“系统”；一个人相对于庞大的地球是一个“点”，但对于细胞而言人体是一个“系统”；一个细胞对人而言是一个“点”，如果通过放大镜、显微镜，我们会发现细胞是一个包含细胞核、核糖体、细胞质、内质网、高尔基体、囊泡、溶酶体、线粒体、细胞骨架、细胞膜、中心粒等等，放大镜下细胞是一个有结构的“系统”。

    反之，经常我们也会把一个“系统”概念统计为一个“点”概念，比如千百个上市公司的估值汇集成上证指数一个点数据；全世界证券交易所的指数综合反映全球经济的兴衰，并传导成为黄金的交易的一个点值定价。

   回到前面那个关于蒙古铁骑横扫世界打遍天下无敌手的例子，历史学家如果想分析当年的南宋王朝有没有出兵打击蒙古的实力（从而牵制草原蛮族西进改变世界文明进程），会搜寻历史资料查找诸多深层次要素。比如南宋王朝青壮年男性人口状况（多少郡县有多少青年壮年、多少兄弟姐妹、多少老弱病残负担等等）、存栏马匹状况（多少汗血马、能跑多远、每天吃多少草料等等）、锻造武器状况（铁矿石分布、运输工具、打铁工等等）、冗余的社会财富（生产多少、消耗多少、吃的花销、穿的花销、住的花销、行的花销、宣纸的花销、烟粉的花销等等）等等要素（子要素）。然后数学家帮忙把这些子要素数据填入相应的矩阵阵列中汇总，生成人口矩阵、马匹矩阵、武器矩阵、军费矩阵等等，纳入历史逻辑轨迹的系统进行演算：

   南宋人口矩阵×马匹矩阵×武器矩阵×军费矩阵 --> 征讨蒙古胜算几何

   如果数据准确，我们会发现计算的后果是打不赢蒙古，因为南方人身体不强壮、南宋属地无马匹饲养的大草原、长江以南铁矿资源稀缺、汉人的钱财大多花在吟诗作画吃喝嫖赌消遣中，所以人口矩阵、马匹矩阵、武器矩阵、军费矩阵的各项子因素数值大都为零。 不幸中的万幸的是，矩阵元素0值越多计算越容易，南宋不需要借助现在的计算机，轻而易举地就能计算出他们打不过蒙古。

   请注意，马匹矩阵本身和其矩阵元素，即多少汗血马、能跑多远、每天吃多少草料等等子要素不是同一个层次的逻辑。

   子因素和母概念不是同一个层次的逻辑。

   就像一阶逻辑矢量和高阶张量不是同一个层次的逻辑；微分几何和欧式几何不是同一个层次的逻辑；函数线性相关和微分多重线性映射不是同一个层次的逻辑；一维线性逻辑与和多重线性逻辑与 不是同一个层次的逻辑；特征向量和群生成元不是同一个层次的逻辑；阿列夫0无穷大和阿列夫1无穷大不是同一个层次的逻辑、和阿列夫2无穷大不是同一个层次的逻辑。

   不同层次的概念的逻辑关系是非常重要的课题。
   有时，我们需要把一个“点”事物扩展成一个“系统”，以期窥探内部有意义的细节，找到更广泛的事物子属性之间的多重线性关系（比如微分几何、比如量子态空间）。
   有时，我们又需要把一个“系统”直观为一个“点”，去繁就简，以期明晰它的逻辑轨迹，探寻简洁规律（比如积分、比如卷积定律）。

   把一个东东从1扩充到2维、到3维、到n维、到连续无穷维、到阿列夫2维，把向量空间扩充到多重线性映射空间，是张量的长项。
   而把高维度的数据压缩为低维度的数量，并不丢失其固有属性，是傅里叶变换的长项。

   比如，如果深入分析亚马逊森林的生态循环，会发现各种群的食物链轨迹并不单一。熊吃鲟鱼、鹰也吃鲟鱼；大熊吃的鲟鱼多、小熊吃的少；熊不仅吃鲟鱼、也吃其他动物；树的养分不仅源自于熊的排泄物、也来自鹰的排泄物、还有产卵后寿终正寝的老鲟鱼尸体、大量未能孵化的夭折的鱼卵。
   显然，鲟鱼、熊、树之间的食物链并不是单一概念的简单正比关系，而是复杂得多的子因素间的多重线性关系。
   所以想要完备的研究亚马生态，我们不得不在研究模型中扩充各种各样子要素，从而构造出鲟鱼群张量、熊群张量、鹰群张量、树群张量等等，才能正确纳入分析模型进行逻辑推演：

   鲟鱼群张量 --> 熊群张量×鹰群张量 --> 树群张量

   不过我们知道，即使有限维的平面矩阵的乘积通常计算量都很大很大，何况是高阶张量的乘积？直接计算高阶张量乘积几乎是天方夜谭，无法实现。
   怎么办呢？？？

    也许可以考虑卷积定律！

    如果亚马逊张量不是一个完备空间，那么我们想办法扩充其中的随机变量为不变的概率分布量，凑成线性时不变系统，引入exp(ipr)特征基，然后通过傅里叶变换，把多重线性映射的逻辑与转换成矢量空间一阶的逻辑与，然后哗哗哗......轻松搞定，呵呵呵