5.7 盖世英雄ℵ 2（阿列夫2）

   相信很多朋友见到这两个傅立叶变换的式子都不陌生，但是却很难亲切，因为这两个式子很容易让人迷糊晕菜。每一个位移值都由无穷多个复动量构成、而每一个复动量值又由无穷多个复位移构成。就像在两个对照的镜子里，你中有我、我中有你，层层嵌套、无穷无尽。第一直觉，“非独立二元复指数”，貌似多重旋量（虚数i）的高阶张量。心里不停的嘀咕，莫非这是多重旋量层层嵌套的∞ ^∞ ，即无穷大的无穷大次方维度空间？莫非，这背后里隐含一个阿列夫2维特征属性的张量空间么？？？

[命题] 以相互正交的量子本征态exp(ipr)函数为元素的集合的势为阿列夫2

[上面命题有点拗口，大意是相互正交的exp(ipr)函数一共有阿列夫2 个，即以exp(ipr)为量子本征态的完备系统是阿列夫2 维度空间]

下面让我们一步一步粗略探讨，看看相互正交的exp(ipr)函数究竟有多少个？

（1）当exp(ipx)函数的变量整数取值时，相互正交exp(ipx)函数的个数为阿列夫0

【 证明一：

取位移值xm和xn ，其中m、n为整数

则：∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp

相当于计算两个exp(ipx）的乘积

又由于exp(ipx）可以转换为三角函数：

所以exp(ipx)的正交性，对应于三角函数的正交关系

即：m不等于n时的exp(ip xm)和exp(ip xn)两两内积为0

所以，两两不同的exp(ip)^xn  和exp(ip)^xm正交

又因为， 整数变量xn与函数exp(ip)^xn 一一对应，所以不同整数取值的exp(ip)^xn函数个数为阿列夫0

即，不同整数取值的两两正交的exp(ip)^xn 函数个数为阿列夫0 阶无穷大】

【证明二：

因为

根据欧拉公式：

可知，整数不同取值的 k、m的exp(ikt)函数 和exp(imt）函数两两正交

又因为， 整数变量k与函数exp(ikt)对应，所以不同整数取值的exp(ikt)函数个数为阿列夫0

即，不同整数取值的两两正交的exp(ikt) 函数个数为阿列夫0 】

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（2）当exp(ipr)函数的变量实数连续取值时，相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫1

【证明：

可知，连续不同取值的x的exp(ipx)函数两两正交

由于连续实数集合的势为阿列夫1 ，即两两不同 x和x'个数为阿列夫1阶无穷大

又因为，任意 x'变量 映射到不同的延时δ(x-x')函数

所以，连续不同取值x’时，两两内积为零的exp(ipx)函数个数为阿列夫1

即，两两正交exp(ipx)函数个数为阿列夫1阶无穷大 】

【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为exp(ipx)不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积。但是基于下面两个事实，判定变量x连续不同取值的exp(ipx)函数两两正交并无不妥：

第一、exp(ipx) 是所有线性时不变系统的共同本征函数系（证明见上一节）

第二、exp(ipx) 满足狄拉克正交性质

】

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（3）当exp(ipr)函数的变量完备取值时，相互正交exp(ipr)函数的个数为阿列夫2阶无穷大

【证明：（步骤一）

根据：

得到：

【注：上面这个证明对于Hilbert内积空间而言是不严谨的，因为δ函数等广义函数不是平方可积函数、不存在于Hilbert内积。但是基于下面两个事实，判定变量不同取值的δ广义函数两两正交并无不妥：

第一、δ广义函数是所有线性时不变系统的共同本征函数系

[定律：δ广义函数是所有线性时不变系统的共同本征函数系 ]  

[δ广义函数和exp(ipx)函数一样，都是基元函数，都是线性时不变系统的本征函数]

[在实际应用中，延时δ函数常常作为连续无穷维积分空间的基底，提取相应微分分量特征值，即取样：

]

第二、不同延时δ(t-r)函数的乘积积分 与通常意义的内积的正交性质不冲突

[ 说明：

实数变量的函数可以看作连续无穷维向量，因此可以以向量形式分解函数，以西格玛类比积分

∫δ(t-r)δ(t-p)dt 如果形象类比离散的西格玛符号形式，如下：

∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0+0+0+......+ δ(r-r)δ(r-p)+......+ δ(p-r)δ(p-p)+......+ 0+0+0.....

即，当tn<>r（或tn<>p）时，各分量均为零

即，仅剩tn=r（或tn=p）时，分量δ(r-r)δ(r-p) 和 δ(p-r)δ(p-p) 可能不为零

又因为，δ与x 的分布积等于零，即 x δ(x)=0

所以，δ(r-r)δ(r-p)=0

       δ(p-r)δ(p-p)=0

所以，∑δ(tn-r)δ(tn-p) = 0

]

】

【注：一般而言正交需要度量“内积”，但“内积”空间（即Hilbert空间）下，对本问题所涉及的δ函数等广义函数(不满足平方可积条件）的内积无定义、对exp(ipr)函数的内积也无定义。不过在张量度规理论中，常常将“标积”作为基底正交的度量，所以本文以“标积”作为正交的度量。】

（步骤二）

因为在坐标r表象中，动量p等于（－id/dr），即p为r的函数,记为：p＝f(r)

因为动量p确定时，p＝f(r)是一个有限值，此时坐标r取值范围是从－∞到＋∞ ，此时如果p×r空间集合全体元素与实数集（连续无穷维线性空间）满足一一映射，则p和r之间满足不动点定理。

即，如果p×r共同空间的全体元素与连续实数空间点可以一一映射，根据实数稠密性不动点定理，则存在r0，使f(r0)=r0

即有：p0=r0 ，即动量和坐标可以在某一点同时确定 (这意味着信号在空域和频域上的分布同时有限)。这与不确定性原理矛盾！

所以，p×r共同空间集合全体元素与实数集合不满足一一映射。

所以，p×r共同空间互不相等元素的集合的势不等于阿列夫1

又因为p×r共同空间的r和p可连续取值，所以 p×r共同空间互不相等元素的集合的势大于阿列夫0

结合上述两条，p×r共同空间互不相等元素的集合的势大于阿列夫1

即，互不相等r、p的元素个数大于阿列夫1

即，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2

【注：“不确定性原理”和“不动点定理”二者不可调和，这是本证明的关键：

1、不确定性原理：量子本征态在频域和时域不能同时压缩到一个点值：

2、不动点定理：有限实数值域与任意取值的实数定义域的函数存在不动点，即有限实因变量和任意取值的实自变量可以同时为压缩到一个点值。】

（步骤三）

根据步骤一，δ(r-p)为零值的个数等于δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函数的个数

而δ(r-p)为零值的个数等于互不相等r、p的个数

根据步骤二，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2，所以δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函数的个数大于等于阿列夫2

即，两两正交的δ(t-r)、δ(t-p)函数集合的势大于等于阿列夫2

得，全体δ(t-r)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2

（步骤四）

因为：

即，傅立叶正反变换均不是一对多的映射

所以，傅立叶变换非退化，是非退化的线性变化

（步骤五）

因为：

即，基元函数δ(r-p)和基元函数exp(ipr)是一一映射

（步骤六）

根据步骤三和步骤五， 全体exp(ipr)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2

[证明方法2：

因为频域和时域互为对偶空间 ,所以动量表象和位置表象的维度一样。

根据：

取动量表象的一组基 exp(ir)pi [pi表示动量连续取值]

 位置表象的一组基 exp(ip)rj [rj表示位置连续取值]

则有：

    又因为：p=(－id/dr），r=(id/dp)

    即：p和r互为一元函数

    所以：当且仅当 p=r 时，基exp(ir)pi 和基exp(ip)rj 标积不为0

   根据步骤二，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2

   知：标积互为0的基exp(ir)pi 或基exp(ip)rj的个数大于等于阿列夫2

   得：全体exp(ipr)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2

]

（步骤七）

又因为：

【注：阿列夫级无穷大是对集合中元素个数的评估，如果按照某种一一映射规则把集合元素按有序集排列，当最大元素映射值不超过阿列夫2 时，则集合元素个数不超过阿列夫2 。量子态空间可以考虑把系统能量（哈密顿算子）作为排序映射规则，此时坐标表象中最大排序元素映射值不可能超过阿列夫2阶无穷大 】

（步骤八）

根据步骤六和步骤七，因为空间特征属性维度不大于空间全体元素的个数。

所以， 完备的exp(ipr)函数系的空间维度为阿列夫2阶无穷大

证毕。】

   【小结】：如何看待“不确定性原理”？

   以高斯函数为例，通过傅立叶变换连续无穷维特征基exp(ipr)普分析，我们推导出高斯函数原函数与其傅里叶变换函数存在不确定性关系，原因是表达高斯函数空间和其傅立叶对偶空间的两个普分析矩阵的乘积的共同本征函数exp(ikx)系构成‘2阶ℵ1维’张量（相当于阿列夫1维特征属性），但是同时确定量子位移和动量可能性状态却构成‘ℵ1阶2维’特征属性张量，这意味着完备的相互正交的exp(ipr)本征态函数共有‘ℵ1阶2维’（即ℵ2阶无穷大维特征属性），远超阿列夫1维度特征属性参照系所能承载的范围。

    究其根本，完备的exp(ipr)本征函数系空间是阿列夫2维度的高阶张量空间。显然，阿列夫1维度的傅立叶谱分析参照系相对于阿列夫2维度的量子本征态，是不完备的，必然出现“不确定性”现象。

   显而易见，连续无穷维谱分析无法完备度量量子本征态的特征属性。

   简而言之，矩阵力学的实质是多重线性系统向线性空间的投射，是阿列夫2维度的高维系统向阿列夫1维度的低维参照系投射。这时，连续无穷维矩阵参照系相对于阿列夫2特征维度的量子本征态是不完备的，所以波函数表现概率性，出现“不确定性”现象。

   上面的现象可以概述为：

  1、不完备性定理说明，阿列夫0阶无穷大特征基（阿列夫0维度参照系）相对于阿列夫1维度的对象系统不完备；

  2、不确定性原理说明，阿列夫1阶无穷大特征基（阿列夫1维度参照系）相对于阿列夫2维度的对象系统不完备。

　　咦，阿列夫2维度空间？没听说过，真有阿列夫2维度空间吗？阿列夫2维度空间有什么特别的地方吗？

　　《庄子.天下篇》：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”以这种一刀一刀砍出来小段棍子，其实就是一个有理数的数列，是一列有理数，而有理数是可列可数的，有理数的全体构成了一种无穷大，即‘阿列夫0’ 。 然后，牛顿-莱布尼茨通过微积分“极限”把无穷大的级别由阿列夫0版升级到阿列夫1版。人类的视野从此也到了一个新的广阔空间。 现在，量子矩阵力学，通过傅立叶变换多重线性张量，把无穷大的级别再由阿列夫1版升级到阿列夫2版。

　　我们已经知道，阿列夫0是无穷大家族中最小的一个。虽然同是无穷大，但阿列夫0比阿列夫1小得多，到底小到什么程度呢？康托尔老师告诉我们，哪怕取很小很小的一小段连续实数中的无理数(比如从0到0.0000000000000000000000000000000...........1中那么一丁点儿小段),也比所有的有理数全体(即‘阿列夫0’)大得多得多。同理，那怕‘阿里夫2’空间中一丁点儿线片段包含的数，也比整个连续实数点的全体要大很多很多很多。  也正是因为阿列夫2级别的无穷大的广阔巨大，所以对于任意实际的物理量，我们不可能既在时域看见它处于粒子状态，同时又在频域看见它处于粒子状态。因为若如此，量子态空间就不可能大至阿列夫2级别的无穷大。（三维实体空间的经典物理粒子数量充其量只能达到阿列夫1阶无穷大，但是波函数全体却可能表达多至阿列夫2阶无穷大维的量子特征属性。）

   所谓平面波exp(ipr)，并不是指一个波，而是一群波。这一大群波，有的快有的慢（频域）、有的长有的短（空域)，在量子态空间中所有的基矢波总计共有阿列夫2阶无穷大之多。阿列夫2阶无穷大之多的exp(ipr)都是相互独立的，它们共同组成了一个阿列夫2维度的多重线性系统，表征完备的量子态（高阶张量）特征属性空间。 所以阿列夫2阶无穷大的坐标本征值x远远大于阿列夫1阶无穷大的经典物理实体粒子的实际坐标点{x}，因此阿列夫2阶无穷大的量子态坐标本征值x在阿列夫1阶无穷大的经典物理实体空间坐标点{x}的测量中表达出随机性。所以说波函数不是经典物理机械论的实体波，而体现为逻辑概率波。

【补充备注】：

1、根据不确定性原理，频域和时域不能同时为压缩到点值。当动量p为确定值时，坐标r在－∞到＋∞之间震荡，r在每一个具体位置的平均概率为零。

2、 根据“单电子夫琅禾费点孔衍射实验”，夫琅禾费衍射分析的量子现象类似贯穿势垒的量子隧穿效应，具备某能量（频率）电子将会闯过障碍“点孔”、另一些则穿不过去。这对于单个电子而言，相当于逻辑上的概率性，而这种表征不同频率的电子的穿透性的概率幅，表征了‘概率本证态’。只有在高阶张量参照系表象中，对单电子夫琅禾费点孔实验的“单电子”、“点孔”和量子隧穿效应的“概率幅”等要素才能做到一一对应完整表达。在傅立叶变换下，经典物理实体动量{p}由一个点值将扩张成了对偶域的一系列概率本证值r21、r22.....r2n等。在量子力学中的量子态的意义不仅仅局限于经典物理的实体坐标，还包含了‘概率本证态’等新要素，‘概率本证态’的意义比经典物理实体空间含义更广泛。

3、经典力学中在实体空间中讨论矢量关系，所涉范围为线性空间，经典力学的实体空间位置{x}与连续无穷维向量空间是一一对映的。 而位置算符‘概率本证态’x 与阿列夫2维度张量对应。所以连续无穷维向量实体空间位置{x}与位置算符‘概率本证态’x 不是一个层次的概念。

4、“不确定性原理”和“不动点定理”二者不可调和。如果一个系统满足“不动点定理”，则说明这个系统是ℵ 1维线性空间；如果一个系统满足“不确定性原理”，则说明这个系统是ℵ 2维张量空间；

5、因为线性空间同构于矩阵，所以连续无穷维线性空间的“不确定性原理”现象，体现为ℵ 1维矩阵在ℵ 2维高阶张量中出现的不对易现象。

6、完备的“概率本证态线性时不变系统”，即exp(ipr)本征函数系，同构于‘ℵ 1阶2维’张量。这种高阶多层次多重线性映射，因为具有偏线性结构，可以切割出很多单层平面矩阵，每一层都包含了线性结构的基底。