5.6 大众情人

       随便翻开一本人工智能教科书，核心内容都会介绍如何识别特征、提取特征、分析特征。那么请问，应用最广泛的特征基长什么样子呢？

       这就是exp(ipr) 特征基

　　上一节的例子可以看出平面波exp(ipr)是自然科学的大众情人，让我们来看看大众情人到底有多么的“大众化”。 下面是关于exp(ipr)广泛性的一个著名定理。

　　【定律】exp(ipr)是所有线性时不变系统的共同本征函数（特征基）系。

【证明：

设L是任意线性时不变系统，v是输入，w是输出

  即 w=Lv

　　则 w(x)=h(x)*v(x) ，即w可以表达成h和v的卷积

　　上式傅里叶变换记为:

　　W(p)=H(p)V(p)

　　如果输入exp(ipx) ，即 v（x）= exp(ipx)

　　则由：

　　得到：v（x）的傅里叶变换V(p)等于脉冲函数δ(x-p)   [注：为方便表述，exp(ipx) 省略了常数项2π ]

　　则输出：W(p)=H(p)δ(x-p)=H(x)δ(x-p)    [注：此处H(x)是个常数]

　　再通过傅里叶反变换，把上式从频域返回到时域，得到：

　　w(x)=H(x) exp(ipx)

　　此处H(x)是个常数，记为c，则：

　　w(x)= c exp(ipx)

　　即：输入exp(ipx) ，通过L线性时不变系统w=Lv，输出得到 c exp(ipx)

　　即：L exp(ipx) = c exp(ipx)    [注： L作用在exp(ipx) 等于常数c乘exp(ipx) ]

　　即： exp(ipx) 是任意线性时不变系统L的本征函数

　　证毕。】

　　证明过程简洁而深刻，更加深刻的它的意义。任意线性时不变系统共同本征函数的定律告诉我们， exp(ipr)具有放之四海而皆准的意义。

　　第一，线性系统具有广阔的广泛性。（线性系统的介绍上面提过）

　　第二，时不变系统具有广阔的广泛性。（时不变最简单的例子是时间变换下的函数性质不变性，比如今天看是这样，明天看还是这样，就是时不变的。另特请注意，时不变的意义不仅仅针对时间变换而言，时不变系统的变量可以是时间、也可以是其它变量，时不变系统具有非常广泛的含义，时不变系统的本质是特征属性不变性。特征属性不变性，在不完备系统中体现为概率不变性。）

　　下一节将进一步证明，exp(ipr)本征函数的广泛性非常广阔，因为它是一个ℵ 2维度(阿列夫2维度)的空间特征基。 这意味着，exp(ipr)本征函数系空间远远超越希尔伯特空间的ℵ 1维度(阿列夫1维度)、远远超越形式逻辑空间的ℵ 0维度(阿列夫0维度)。

　　为什么exp(ipr)具有广阔的广泛性，除了上面傅立叶变换理论的严格证明，我们还可以从其它角度来理解。

   比如，exp(ipr)是动量算符和坐标算符的共同本征函数系；同时，exp(ipr) 又是动量和位置的内积。这表明对动量和位置而言，exp(ipr)即是基、又是投影，是构成动量和位置线性空间的一切因子。

   又比如“卷积”现象。

   傅立叶变换理论中有一个著名的定理，两个函数的卷积等于其傅立叶变换的简单乘积。

   为什么复杂的卷积能够转换为简洁的乘法运算呢，实质是因为exp(ipr)是所有线性时不变系统的共同本征函数系，因此exp(ipr)可以在线性系统中随意穿越，从逻辑运算括号中渗析而出，从而变成简单乘法。

   再比如，“欧拉公式”现象。

　　英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式。有上面说过的傅立叶变换、薛定谔方程和德布罗意方程，无需多言这几个公式中都有exp(ipr)的影子。最神奇的是欧拉公式，似神的启示。

　　一般人无意间瞟一眼，也许发现不了它的神奇，但对专业人士而言，相信看到它时，都会惊诧到合不拢嘴。高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”

　　这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连：

   欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e

   关于e，以前有一个笑话说：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”

　　e的x次方就是exp(x)，在复数域中是exp(ix)，如果是二维变量就是exp(ipr)

   因为指数函数的微分不变性,所以指数函数成为微分方程的特征解,所以有exp(ipr)是所有线性时不变系统的共同本征函数系。

　　并且，一眼可见，欧拉公式与exp(ipr)息息相关。从欧拉公式的证明中更可明晰其中端倪：

　　证明有点稍显复杂，其中核心要点简化如下：

　　从欧拉公式中我们可以解读到：

　　1、exp(ipr)中隐含着e、i、π信息。前面提到过e、i、π数据是多维空间的图形结构数据，所以exp(ipr)中隐含着多维空间的图形结构信息，可作张量积扩张。

　　2、exp(ipr) 是sin和cos函数的联合体，而sin、cos同时具备空间周期属性和时间周期属性，所以exp(ipr) 即是频域的本证态、又是时域的本证态。