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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(五)(3)

已有 4415 次阅读 2014-9-2 15:16 |系统分类:科研笔记

5.3 确定的不确定度



   正因为信号在时空域和频域中不可能同时集中在‘有限大’的区域内,一边区域‘有限’另一边区域必然‘无限’,所以才有不确定性现象。如果它仅仅用来说明某些事情测不准做不到,就像‘不确定’三个字的字面意思所反映出的那样,以不确定来说不确定,以笼统来说模糊,当然激发不起科学界的兴趣,更不可能有如日中天的矩阵力学的巨大成功。

   万幸的是,不确定性原理的不确定,是确定的不确定性,其‘不确定度’是可量化的。



   物理量的客观规律是确定的,这是不容置疑的。但是,因为表述空间维度不足,当我们通过低维度的坐标系来观察高维度客观规律时,不得不利用概率工具来刻画。因为源自概率刻画,所以出现低维度参照系下(观察)高维度客观规律时的表达方式会体现出概率化的不确定性。但这种不确定的(概率化)表达形式,背后所蕴含的却是确定的客观规律。

   由于人类视野的局限性、工具的局限性、观测的局限性,我们所能实实在在接触到的信息,是有限的。但是广袤无垠的宇宙,蕴含的规律却无穷无尽。如何通过有限的信息去认知无穷的世界,始终是人类最重要的课题。量子态空间提供了一种新理论,这种理论能够分析高达阿列夫2维度的规律性,它所蕴含的客观规律远远超过经典物理所知的范围。量子力学的信息来源于两个方面:一是实际的测量值(比如粒子实体位置坐标{x}),这和经典物理的数据来源一样;二是通过逻辑推演得到的量子态本征值(比如坐标本征值x),然后再在试验中检验推演数据的正确性。必须强调的是,尽管实际测量数据对量子力学信息获取非常关键,但量子力学的信息并不仅限于此,我们认识量子力学的规律更多的是基于阿列夫2维度的逻辑推演,这种逻辑推演的有效性通过实验检验得到认可。

   简而言之,量子力学蓬勃发展正是依赖于可量化的不确定性。鉴于其博大精深,还需要补充相关背景知识,所以后面章节再进一步深入探讨矩阵力学的不确定性的内涵。在深入探讨量子力学如何根据‘不确定’的数据获知“确定”的信息、如何根据阿列夫1维度测量数据获知阿列夫2维度规律信息之前,我们先来粗略看看相对简单的类似的方法。








   如何在数据不完备的情况下,获知全面准确的信息;如何根据‘不确定’的现象,获知“确定”的事实。这既是矩阵力学概率波的基本原理,也是傅立叶分析的基本原理。借此让我们通过离散傅立叶分析的成果,初步领略充满神奇魔力的不确定性原理获取确定数据的方法。

   如果在二十世纪上半叶的时候提到一个信号,人们还倾向于将它理解为一个连续的函数。而到下半叶,信号已经越来越多地对应于一个离散的数组,因为这是电子计算机数据处理的需要。到二十世纪末,人们对信号这个词的理解已经发生了微妙的变化。在这样的情形下,不确定性原理也有了新的形式。在连续情形下,我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。而在离散情形下,重要的问题变成了信号是否集中在某些离散的位置上,而在其余位置上是零。


   数学家给出了这样有趣的定理:

  一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值,而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值,

   那么 a+b ≥ 2√N

  也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都太少。毫无疑问,这也是某种新形式的不确定性原理(信号在时空域和频域中不可能同时集中在‘有限大’的区域内)。



  在上面的定理中,如果已知 N 是素数,那么结论更简洁:

   一个长度为素数 N 的离散信号中有 a 个非零数值,而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值,

   那么 a+b>N

 


  这些算式有什么用吗?




  设想这样一种情况:假定我们知道一个信号总长度为 N,已知其中有很大一部分值是零,但是不知道是哪一部分,与此同时,我们测量出了这个信号在频域空间中的 K 个频率值,但是 K<N


   我们的测量由于某些原因并不完整,漏掉了一部分频域信息。这是很常见的情形,大多数信号都是如此,有这样那样的干扰,难以让人百分百满意。

   那么,在数据不完备的情况下,有没有可能把这个信号还原出来呢?


  按照传统的信号处理理论,这是不可能的。

   因为正如前面所说的那样,频域空间和原本的时空域相比,信息量是一样多的,所以要还原出全部信号,必须知道全部的频域信息,就象是要解出多少个未知数就需要多少个方程一样。

   如果只知道一部分频域信息,就像是只知道 K 个方程,却要解出 N 个未知数来,任何一个学过初等代数的人都知道,既然 K<N,解一定是不唯一的,换句话说N解不出来。


  但是借助不确定性原理,却正可以做到这一点!

   原因是我们关于原信号有一个很多位置是零的假设。因为,假如有两个不同的信号碰巧具有相同的 K 个频率值,那么这两个信号的差的傅立叶变换在这 K 个频率位置上就是零。另一方面,因为两个不同的信号在原本的时空域都有很多值是零,它们的差必然在时空域也包含很多零。不确定性原理(一个函数不能在频域和时空域都包含很多零)告诉我们,这是不可能的。

   于是,原信号事实上是唯一确定的。也就是说,在数据不完备的情况下,即使只知道K 个点的数据,哪怕K<N ,也能推知 N 个点的完整信息量。






  虽然这当然是一个非常违反直觉的结论,但事实验证它是有效的。追根溯源,是因为傅立叶变换内在的规律性(一边区域‘有限’另一边区域必然‘无限’),如果非噪音信号在频域是无限的,那么其时域会体现出有限性。正是这种“规律性”约束条件的存在,可以让我们能在数据 K 的不完备的情况下,还原出信号 N 的完整信息量。

   简单类比,类似于初等几何“两点确定一条直线”的现象。依据直线的“规律性”特征,我们可以在仅仅知道两个点数据的情况下,还原出整条直线上所以点的完整信息量。









   这个方法说明在特定的情况下,我们可以用较少的方程解出较多的未知数来。这件事情在应用上极为重要。


   一个简单的例子是医学核磁共振技术(很多家里有重病患者的朋友应该都听说过这种技术)。虽然我们看到的是核磁共振影像,但实际核磁共振并不扫描图形。核磁共振扫描的是频率,然后以频率数据通过傅立叶变换计算图片数据,最后打印出影像。核磁共振成像本质上是采集身体器官的频域信息来还原空间图像信息。由于采集成本很高,所以核磁共振成像很昂贵,也很消耗资源。但是上述推理说明,事实上核磁共振可以只采集一少部分频域信息(这样成本更低速度也更快),就能完好还原出全部身体图像来,这在医学上的价值是不可估量的。


14050539342861076.gif


    核磁共振技术的强大,请看下面这个神奇的视频:

http://open.163.com/movie/2012/1/K/U/M8SI7QONP_M8SI7V6KU.html?from=timeline&isappinstalled=0

   


  在今天,类似的思想已经被应用到极多不同领域,从人脸识别系统、到医学上的核磁共振、到 X 光断层扫描、到石油勘测、到卫星遥感。

   简而言之,不确定性可以让测量的成本更低效果更好,虽然这听起来很自相矛盾。


  E. Candès 和陶哲轩等人证明了一系列新的不确定性原理,大大提高了不等式的强度,他们的定理可以粗略叙述为:

  一个长度为 N 的离散信号中有 a 个非零数值,而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值,那么 a+b 以极大概率不小于 N/√(log N) 乘以一个常数。


  这里的极大概率并不是一个生活用语,而是一个关于具体概率的精确的数学描述。换言之,虽然在最倒霉的情况下不确定性可以比较小,但是这种情况很罕见,现实情况是不确定性总是很大。于是可以带来的测量上的节约也很大。也就是说,不确定性越大反而越好。

  这当然也是一种不确定性原理,而且因为引入了随机性,所以在某种意义上来说比原先的定理更“不确定”。在他们的工作的基础上,一种被称为压缩感知的技术在最近的五六年内如火如荼地发展起来,已经成为涵盖信号处理、信息提取、医学成像等等多个工程领域的最重要的新兴工程技术之一。





   “一边区域‘有限’另一边区域必然‘无限’”,这是物质世界波粒二象性固有属性,通过傅立叶变换我们可以有效地利用这种内在规律,基于此由不确定性原理获得确定性数据的方法,是非常有效的,获得广泛认同,取得大量成果,意义非同寻常。



   最近,深度学习人工智能正在各个领域兴起,可以说数据的大小直接决定了深度学习模型的成败。如何通过相对较小的数据量训练出足够聪明的人工智能,不确定性原理地应用必将大有可为。




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