5.2 最深刻的宇宙秘密

　　在傅立叶变换所有秘密中，最意味深长、最不寻常的是关于无限和有限的。

   傅立叶变换能够把某些初看起来非常杂乱无章的甚至无穷无尽的东东，变换为异常简单的有限的东东。反之，对异常简单的东东通过傅立叶变换必然变成无限的广阔。

　　那么，有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢？

   有的，比如噪声信号。

   一段噪音，其傅立叶变换也仍然是噪音，所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。

   可以这样来看，因为噪音无规律可循，所以噪声不具有“收敛性”，所以噪声不可“压缩”，所以傅立叶变换前后的数据量都很多。

   这并不违反直觉，因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述，而噪声，顾名思义，就是没有结构和规律的信号，自然也就无从得以压缩。

　　另一方面，有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单（有限）呢？

   换句话说，存不存在一个函数，它在空间上只分布在很少的几个区域内，并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢？

　　答案是不存在。这就是著名的“不确定性原理”

　　这一事实有极为重要的内涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。

   大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上不能都集中在一起，任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。一种波动在频率上被我们辨认得越精确，在空间中的位置就显得越模糊，反之亦然。

   虽然时域和频域不可能同时受限的现象，表面上看起来并没有什么道理，但它包含了最深刻的宇宙秘密。（后面详解，这就是线性空间和高阶张量的本质区别，揭示了阿列夫1和阿列夫2的深刻内涵）

　　让我们仍然用音乐来作例子。声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内，譬如一个声音只延续了一刹那。声音也可以只具有极单一的频率，譬如一个音叉发出的声音（如果你拿起手边的固定电话，里面的拨号音就是一个 440Hz 的纯音加上一个 350Hz 的纯音，相当于音乐中的 A-F 和弦）。

   但是不确定性原理告诉我们，这两件事情不能同时成立，一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。当声音区间短促到一定程度的时候，频率就变得不确定了，而频率纯粹的声音，在时间上延续的区间就不能太短。因此，说“某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音”没有意义的，因为这种现象是不可能存在的。

　　这一规律对于任何熟悉现代多媒体技术的人来说都是熟知的，因为它为信号处理建立了牢不可破的边界，也在某种程度上指明了它发展的方向。既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小，那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号，它们在某种意义上构成了信号原子，它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率，而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。这一思路在四十年代被 D. Gabor （他后来因为发明全息摄影而获得了 1971 年的诺贝尔物理奖）所提出，成为整个现代数字信号处理的奠基性思想，一直影响到今天。

   在时空域和频域中，一个信号要么两边都是无限大（噪音），要么是一边有限一边无限（波粒二象性），但不可能同时两边都有限。这种不确定性原理现象越来越广泛地被注意到。

　　有趣的是，即使很多信号处理或者量子力学领域的专家也不知道自己平时所讨论的不确定性原理和对方的其实是一回事。这两者之间的联系也的确并不太显然，一个关注信号的时空和频域分布，一个关注粒子的运动和能量。它们之间的相关性只有从抽象的数学公式上才看起来比较明显。在海森堡的时代当然并不存在信号处理这一学科，数学家们也只把不确定性原理当作一条纯数学的结论来对待。他们什么时候最先注意到这一定理并不是很清楚。有记录表明维纳1925 年在哥廷根的一次讲座中提到了类似的结论，但是那次讲座并没有任何纸面材料流存下来。外尔在 1928 年名为《群论与量子力学》的论著中证明了这一定理，但他将之归功于泡利的发现。直到 1946 年 D. Gabor 的一篇名为《通讯理论》的经典论文才真正让这个定理以今天信号处理领域的专家们所熟悉的方式流传开来。

   其实不确定性原理不仅仅是一个版本，而是一组定理的统称。譬如哈代 1933 年证明了一个和海森堡原理类似的定理，今天一般称为哈代不确定性原理。海森堡和哈代的定理都只约束了信号在时空域和频域的大致分布，而并没有限制它们同时集中在有限大的区域内。

   1974 年，M. Benedicks 第一个证明了信号在时空域和频域中不可能同时集中在‘有限大’的区域内。