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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(四)(5)

已有 4717 次阅读 2014-9-1 13:51 |系统分类:科研笔记

4.5 泡利矩阵


   上一节提出来,维度不完备是不确定性现象产生的根源,是这样吗?

   下面,来看一个具体直观的例子。


  进入量子空间需要一张特别入场卷,就像小学生必须背乘法口诀、下围棋必须牢记定式一样,欣赏这个大殿的美景必须对包利矩阵滚瓜烂熟。


  泡利矩阵是个很有意思的话题,如果深入探讨,会发现量子力学里的空间维度完备性的特殊意义。




  首先看,σx和σy相乘,表面上应该表达x和y轴组成的一个二维平面,似乎是二维的。但是,泡利矩阵的二维并不是一个维度取自于x轴,另一个维度取自于y轴,而是取某个轴的正、负方向,而这轴同时和x、y、z三维相关。所以自旋空间有且只有三个泡利矩阵,而不会是两个或四个泡利矩阵。所以σx乘以σy不是二维空间,而是个三维旋转空,所以众所周知的泡利矩阵,σx、σy、σz互相不对易。而不对易的根源,在于彼此没有共同的完备的特征基。






   泡利矩阵是二阶酉空间SU2群的无穷小生成元,因为SU2同态于SO3旋转群,并且SU2覆盖SO3,而SO3李群与其李代数同维,dimO(3)=3 ,所以3维群生成元泡利矩阵表达是3维流形(也是n阶3维张量,其中n趋于无穷大)。


  简单来看,群表示空间的二维泡利矩阵对于以欧拉角三个旋转参数abg 为生成元的三维SU2群空间不完备。

1541427080.jpg

  那么,这是不是“不完备性定理”引深的问题呢?(因为参照系特征基个数相对于对象系统特征属性维度不足够,所以表达不完备)


 





  好像是那么回事,但好像又有一点不放心,还有别的例子吗?

   另外,有限维度的矩阵不完备好理解。不过我们知道量子态空间的矩阵是连续无限维度的,莫非连续无限维度空间也不完备么?






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