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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十五)(7)

已有 585 次阅读 2020-6-25 17:22 |系统分类:科研笔记

15.7 楔积

 

科幻小说《三体》提到高级文明的超级武器叫“降攻击”,将立体特征压为平面。这其实是错误的说法。

一、线元特征和体元特征

n线性空间是指n个线性无关的特征基组合,特征基的个数即度。请注意,线性空间的特征元是向量,向量表征一属性。而一阶特征元向量无论多少个相加,还是一阶特征属性的。一个向量代表线性,n个向量相加还是线性的。无论多少个向量组合相加,充其量只能刻画一条‘线’,永远不会成为‘平面’,或者‘立体’换句话说,n线性空间只能刻画‘线元’,无法表达高阶‘体元’特征。

抽象数学中,如果xyz分别代表一阶向量,则“面元xy”具有2复合特征属性,“体元xyz”具有3复合特征属性。

一般而言,表达特征元加法的数,和表达特征元复合乘法的数,并无瓜葛。34是正常的张量,96张量也是允许的。



二、2楔积

有种特殊的高张量,楔积。其维数是有关系的。

楔积的特殊性来源于,其两个特征元乘积具有反对称性,即:

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因为此,如果楔积中有两个特征元相等,则等于零。所以楔积的数不可能大于数。也就是说,楔积中数和数是有关系的。

楔积在经典物理和场论中应用广泛。

比如,Poisson括号:

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  又比如力矩,即力和径向的外积,具有反对称性



它们都是二楔积,反映二重复合特征属性。




 

三、K阶楔积

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K个特征元的复合乘积,如果乘积具有反对称性,得到K楔积,称为K形式(英文K form)。具有K重复合特征属性。

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四、n阶体元

L个特征元的复合乘积,如果乘积具有反对称性,得到L楔积,称为L形式(英文L form)。具有L复合特征属性

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同样的,n个特征元的复合乘积,如果乘积具有反对称性,得到n楔积,称为n形式(英文n form)。

n个特征元的楔积,即“n体元”。具有n重复合特征属性。

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五、体元的模

类似向量有特征方向、有模的大小。体元具有特征属性、也有模的大小

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楔形运算符的结果在这里的意义是两个一导数张成的面积向量(即,特征属性是面法线向量方向,而模是面积大小)

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行列式,平行四边形的面积表示二楔积的模(标量)的值。(注:本例中向量积是叉乘,是楔积在三空间的一个特例。)




 

六、楔积对偶空间

根据楔积反对称性定义:

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得到:

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可以发现,楔积L形式和其对偶空间(n-L)形式具有相同

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比如,当n=3L=2时,贴切的例子是叉乘。3空间叉乘等于对偶契积,即1 form形式。所以,特征元叉乘变成了一特征向量。

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七、完备性

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n流形

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切空间是特征属性除法(特征属性倒数的复合乘积)。

微分形式就是全反称全下指标张量,是流形上微积分的作用对象。 
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逆变张量特征属性复合乘积,协变张量特征属性倒数的复合乘积

对偶矢量基底的楔积构成微分形式的基底。由于全反称性,这个基底张成的线性空间维度是一个组合数。

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  流形的定向,由处处连续非零的L形式场(体元场)确定。

L形式和(n-L)形式互为对偶空间,二者形成n完备空间

 




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1 王安良

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