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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十五)(3)

已有 689 次阅读 2020-2-1 16:37 |系统分类:科研笔记

15.3 四维时空

 

“世界”一词源自佛教,‘世’指的是不断迁流的时间,‘界’指的是东南西北各方位的空间。有大千世界、中千世界、小千世界等等。

 

 

在推演相对论时,爱因斯坦发现,要想正确解释麦克斯韦方程隐含的恒定光速,除非假设时空是不可分割的。于是,相对论统一时空参照系,长宽高三维空间再加上时间维度,便有了“四维时空”之说。

但是,如果不借助数学模型,仅仅以日常语言泛泛而谈“四维时空”,则存在严重的误导性。因为自然语言是一阶逻辑的,只能以一阶向量为基础表达线性空间,语文阐述“四维时空”往往会让读者误以为这是四维线性空间。

其实不然!

相对论以闵科夫斯基空间为参照系,闵科夫斯基空间并不是线性空间











  相对论中,时间是可以伸缩的、空间是可以伸缩的。既然时间度量可以变慢变快、空间尺度可以变长变短,那么有没有什么东东在时空中保持“不变性”呢?

 如果没有加速度、没有外力、不扭曲,时空各处都一样,可以定义这个不变量s





   s在时空一体的坐标系中,相当于圆的半径。时间是可变化的、空间是可变化的,唯有半径s不变:


  但是,上面的时空一体模型有点问题。因为,在圆轨迹点A"处,会违反逻辑‘因果性’。比如,正常的逻辑因果是“先拉屎然后开屁股”,如果违反了因果性,则会推导出“先开屁股后拉屎”的谬误。

  解决因果性谬误的办法是,引入闵氏度规[公式] 

闵氏度规矩阵也可以写成这样:

也就是在时间维度上,定义其模平方为负数。这样,洛伦兹变换可在闵氏度规下保持s模不变。

[公式]





数学而言,闵氏空间与欧氏空间(即经典线性空间)只有一点区别,四维欧氏空间度规是单位矩阵,其对角线元素分别是+1+1+1+1;而闵氏空间度规不是单位矩阵,其对角线元素分别是-1+1+1+1

有人说,不就是+1和-1的这点差别而已,影响大么?





进一步看,模平方为负数,也就是隐含了复数变换i,因为i平方=-1




那么,空间维是实数,时间维为虚数,这又意味着什么呢???



             















前面章节详细介绍过,虚数i并非“虚无缥缈”的数,一i变换的作用是向量方向旋转π/4 ,两次i复合变换导致特征属性逆反,四次i复合变换后特征属性恢复如初。换句话说,i变换作用可以看作是一个旋转群


模平方为负数,也就是隐含了虚数i构造的旋转群


这时,相对论时空的尺度维度看作是实数向量时间维度看作是虚数旋量






















    再进一步看。洛伦兹变换在闵氏度规下保持s不变,可以看作一个不变量s为半径的旋转群注意,这和上述虚数i构造的旋转群是不同的,这是另外一个群

洛伦兹群有 6 个生成元,

沿三个方向的boost变换矩阵分别为:

[公式]

[公式]

[公式]

绕三个方向的转动变换矩阵分别为:

[公式]

[公式]

[公式]




接下来,按标准方法求化简洛伦兹群的3个boost生成元 [公式] 和3个转动生成元 [公式] , [公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

一般的洛伦兹变换可以写为

[公式]







    我们再来看看,洛伦兹群的 6 个生成元


[公式]

[公式]





请留意,洛伦兹变换实际上复合了两种类型的‘旋转不变性’。一个是以s为半径洛伦兹旋转群,另一个是时间轴上虚数i构造的旋转群












另外,顺便提提,假如把无穷小洛伦兹变换看作线性向量,当我们以首尾相接的一组线性向量来合成洛伦兹旋转变换时,首尾相接的n个无穷小向量的系统是否同构于n维线性空间呢?

首尾相接的n个向量来合成的旋转量,此处的“合成”指的是n次复合乘积(即n阶张量)。当这里的n趋于连续无穷大(即ℵ 1)次时,得到连续无穷洛伦兹旋转群。连续无穷阶变换复合超出了可列无穷多个向量ℵ 0维)可以表达的范围。所以ℵ 1洛伦兹变换复合乘积,是无法由 0线性空间直接达的。因为 0维线性空间,只有可列无穷多个基向量,只能通过基向量的加法表达。

    初等代数中乘法只是特殊的加法,但是在抽象代数中乘法和加法有本质区别。







综上所述,闵科夫斯基四维时空并非线性空间,O(3,1)洛伦兹群是两个旋转单群的复合,连续无穷阶洛伦兹复合变换生成流形结构,是高阶张量空间。





洛伦兹群在高阶张量中相对而言是比较简单的,更复杂的群结构是这样的:




通常情况下,连续无穷阶变换群是非常复杂的,需要对不等价不可约群表示进行分解,需要建立以单群为基础的统一参照系。

如果运气好的话,有时可以将高阶李群化简为n维李代数。







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1 王安良

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