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14.3 旋度算子
在前面4.7 不确定性和不完备性 章节,我们提到过一个谬论:
有一个这样的所谓的高级数学题:
【命题:1元=1分
证明:
1元=100分
=10分×10分
=1角 ×1角
=0.1元×0.1元
=0.01元
=1分
】
上面的谬误就是一个典型的概念混淆,‘100分’和‘10分×10分’相等吗? 相信大多数读者都知道,100分 和 10分×10分 不相等。但并不一定都知道所以然。 究其根本,因为其中的‘分’和‘分×分’是完全不同层次的概念。‘分’是一阶逻辑概念,‘分×分’是二阶张量概念。一阶变元和二阶变元,在逻辑上有本质区别,根本不可能划等号。如果强行划等号,逻辑谬误在所难免。
人类自然语言是一种形式语言逻辑,是一阶逻辑的,也就是说只能处理一阶谓词的概念,比如“分”。一阶逻辑系统对二阶特征属性的“分×分”没有定义,所以在我们日常意识中根本就无法明白“一分钱乘以一分钱的复合体”这种二阶特征属性的概念到底是个啥意思。实际上,对于形式语言逻辑而言这是一个不可判断命题。
关于二阶特征属性概念的例子,还有 2.6 超越数 章节提到的哥德尔不完备性定理中的“说谎者诡论”,对于形式公理系统具有不可判定性,也就是其在线性空间中找不到解(解不在这个空间内)。如果把“说谎者诡论”这个循环逻辑(旋量)的法向量方向作为真值方向,会发现“说谎者诡论”结构同胚于莫比乌斯带,其在同一点的法向量方向存在里、外两个互逆相反方向(即同时具备真和假指向的二阶特征属性)。为什么会出现这种貌似矛盾的逻辑呢,因为它不是线性空间,而是带旋量的流形。旋量解(矢量的方向开根号,得到正负两个不同方向)对于矢量空间而言,诡异而茫然。
虽然二阶特征属性复合对象在线性空间无解,但在流形(允许高阶特征属性)中却存在完备解。
说谎者诡论的数学模型:【如果A,则有非A】并且【如果非A,则有A】
那么,为什么二阶特征属性的对象对于线性空间无解,但在流形中却有解呢?
为什么二阶特征属性的对象对于线性空间无解? 因为线性空间的特征基都是矢量,而矢量只有单一方向性质(即一阶特征属性),所以线性空间无法表达二阶特征属性的对象。
为什么二阶特征属性的对象在流形中有解? 首先,因为张量积的定义本身就是多个特征属性的乘积,所以高阶张量自然具有高阶特征属性。第二,张量空间与多层线性空间是模同构的,而流形就是连续的多层线性空间,所以张量结构与流形结构具有模同构性。第三,多层线性空间的各层之间具有线性映射关系,也就是说n层到m层可以通过坐标基的平移、伸缩、旋转等变换得到。
张量空间的平移变换不改变特征属性,伸缩变换依靠上节阐述的张量散度算子和梯度算子实现,旋转变换则可以凭借张量旋度算子实现。
因为旋量具有多方向性质,也就是多重复合特征属性,所以包含了黎曼曲率的流形一定具有高阶特征属性。
随着群论的建立和发展,大家都认识到旋量结构恰好对应于某种“群”。群结构意味着周期循环的子特征对称性,而对称性又意味着在某变换下能保持属性不变(守恒性质)。这意味着连续无穷个特征方向(连续无穷阶特征属性),往往只在有限的方向上存在意义,即特征解只出现在某些特殊的群元上。也许,这就是大道至简的真谛吧。
发现“量子自旋霍尔效应”的张首晟突然离世,网络传言四起,阴谋论的焦点是其自旋电子学开创性研究将助推制造“超级芯片”。众多的芯片制造商认为,自旋电子学技术可以被用于下一代的计算芯片当中。采用自旋电子学原理生产出来的计算芯片,其运算速度将大大快于今天的半导体芯片。
我们都知道,当电荷打开或关闭调节电子流动的门的时候,标准的CPU会将其读取为0或1。同样的道理,自旋电子学技术的基本原理是,通过精确控制电子“朝上”或“朝下”自旋的特性,将这些朝相反方向旋转的电子排列在薄膜等物质上,形成磁场,“当你把自旋方向设定为‘上’,将其定义为‘1’,然后将其置于磁场中使方向改变180度,那么它就从‘1’变成了‘0’;如果改变360度,那么它就维持‘1’不变。”我们就得到了电子计算需要的“0”和“1”。这也使得自旋电子学技术可以被应用到存储和数据处理当中。英特尔研究人员正在尝试一种可伸缩的自旋电子逻辑器件“MESO器件”,它通过自旋轨道转导和磁电开关来工作。
Nature发布的最新论文显示,英特尔和加州大学伯克利分校的研究人员正在研究超级芯片,已经在“自旋电子学”领域取得突破进展,有望为摩尔定律再续一命。摩尔定律认为“半导体芯片中可容纳的元器件数目,约18个月增加一倍”,其中的元器件主要为CMOS晶体管,目前主流看法是在5nm节点后晶体管将逼近物理极限,这导致摩尔定律可能即将终结。但是,用“自旋电子学”技术可以让现在常见的芯片元件尺寸缩小到五分之一,并降低能耗超过90%,有望走向商用。
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