第十四章 通用模型

14.1 通用算子

    DeepMind联合创始人哈萨比斯近日在伦敦经济学人创新峰会上阐述了他对AI未来的展望：AI将拯救我们自己；AI将带来诺贝尔奖级别的科学突破；深度学习不足以破解通用AI问题。

    自古以来，分析系统的通用性都是大咖们追求的终极目标。欧几里德的《几何原本》以十个通用公理解决了普通几何全部问题；牛顿的《自然哲学之数学原理》将通用自然科学的公理体系推向巅峰；希尔伯特之梦相信通用形式化能一统数学江湖；爱因斯坦脚踏相对论和量子力学两艘巨轮迈向统一之路......

    目前“深度学习”模型已经在很多领域渐露锋芒，但它们似乎也只能在狭窄范围内打转，仿佛离通用人工智能依然差了十万八千里。这里，简单探讨‘通用AI系统'的可能性。起码，这个系统应该能领会量子力学和相对论的真谛吧。
    广义相对论的解是弯曲的四维时空，对应黎曼流形。量子自旋涉及到SO(3)转动流形。电磁力，强力，弱力统一的是SU(3) × SU(2) × U(1)的规范群流形。流形结构是统一场论的基础。
    上节我们提到，“流形”就是多层线性空间（相当于当前的AI“深度学习”模型的升级版）：

    一般情况下，每层平板不会总是平整叠齐，平板之间“联络”有时会因层间导数值变化，各层发生移位错位而产生流形曲率变动（整体扭曲）：

     相对单层线性空间而言，扭曲变形的“流形”是一种非常复杂的结构，往往内含多重线性关系，其张量空间特征属性维度可能达到 ℵ2（阿列夫2）无穷大，无法用传统线性空间（包括连续无穷维的微积分）直接分析。一般的做法，是对流形结构进行切割分块，因为任意流形都可以通过基空间和纤维丛进行分解（旋转的纤维丛）：

     另外，如果我们找到流形的同胚群结构，以不等价不可约群表示，划分为子群直积，若是李群，则可通过生成元的切空间，进一步分解为相对简单的线性矢量空间：

    广义相对论的解是弯曲的四维时空，对应的黎曼流形是李群，切空间为平坦的闵可夫斯基空间。外尔把黎曼度规乘一个相位因子，引入量子力学波动性因子（虚数i），从而把相对论和量子力学通过波函数exp（ipr)和闵氏空间的结合，得到了规范变换，杨振宁再将外尔电磁规范场论推广到非阿贝尔群，得到了规范理论。这是内含旋量的流形。

    狄拉克灵机一动，将相对论能量与量子态（波函数）结合，开创了相对论和量子力学的量子场论。这是内含旋量的流形。

        究其根本，通用场论的关键在于内禀旋量。无论是闵氏时空特征基的负数平方根、量子力学的虚数相位因子，还是复函数的虚轴i，都内含旋量。场论先驱们早就注意到这个问题，要想协调爱因斯坦场方程组、麦克斯韦方程组，以及量子矩阵力学，必须突破传统矢量空间局限，关键一步就是引入旋量结构，从而扩充线性矢量空间到“旋量*矢量”的流形结构。

    随着群论的建立和发展，大家都认识到旋量结构恰好对应于某种“群”。群结构意味着周期循环的子特征对称性（群生成元），而对称性又意味着在某变换下能保持属性不变（守恒性质）。这种性质是传统的矢量空间不具备的。因为矢量的特征（即矢量的方向）只能取单一值，但是子特征对称性问题需要对‘矢量方向开根号’，所以旋量在周期循环子特征的系统中是必须的。

    特别值得一提的是，很多人下意识认为旋量可以通过矢量无穷次递归复合而得到（如下图），这其实是错误的想法。正如无理数无法通过有理数无穷次递归逼近得到一样（详见6.3 零的秘密章节），旋量通常也无法以矢量无穷次递归逼近而得到。这是因为比线性空间更加稠密的流形张量的极限无穷小量，是阿列夫2特征维度空间里的1/ℵ2阶无穷小量，而微分空间的无穷次递归的‘极限间隔’是1/ℵ1阶无穷小量，1/阿列夫1相对于1/阿列夫2间隔当然过大，当然无法逼近。

    【任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根】，代数基本定理告诉我们，要求得复杂系统（比如流形）的完备解，其参照系空间必须包含虚数（旋量）。

     比如，2.6 超越数章节提到的哥德尔不完备性定理中的“说谎者诡论”，对于形式公理系统具有不可判定性，也就是其在线性空间中找不到解（解不在这个空间内）。如果把“说谎者诡论”这个循环逻辑（旋量）的法向量方向作为真值方向，会发现“说谎者诡论”结构同胚于莫比乌斯带，其在同一点的法向量方向存在里、外两个互逆相反方向（即同时具备真和假的指向）。为什么会出现这种貌似矛盾的逻辑呢，因为它不是线性空间，而是带旋量的流形。虽然它在线性空间无解，但在流形中存在完备解。旋量解（矢量的方向开根号，得到正负两个不同方向）对于矢量空间而言，诡异而茫然。

        说谎者诡论的数学模型：【如果A，则有非A】并且【如果非A，则有A】

      本节梳理一下，自然科学（量子力学和相对论）通用分析系统，具有流形结构（相当于“深度学习”结构的升级版）。在这个系统中，最优解可以通过求极值（梯度算子）得到；开放系统间的流动要素可以通过求流通量（散度算子）得到；系统完备可解（旋度算子）。

      显而易见，通用流形结构的极值性问题算法的梯度算子、守恒性问题算法的散度算子、完备性问题算法的旋度算子，很可能就是未来通用AI系统的通用算子。目前深度学习仅仅借助了梯度算子，如果把散度算子和旋量算子也引入AI系统，会如何呢？