13.7  样本点、特征值与代数数

   12月15日消息，谷歌和NASA宣布，通过机器学习技术在开普勒-90系统中发现了该系统的第八颗行星。在所有的已知行星系统中，这一发现使开普勒-90系统的已知行星数量与太阳系不相上下。Google将开普勒望远镜收集的140亿个数据点和图像输入人工智能系统，使用模拟人脑神经元计算方式，推演可能的地外文明星系，推演结果得到了天文学家的验证。要知道这可是在145,000个恒星星系中进行大海捞针。机器通过对行星星系的自我学习和推演，很快就找到了距离地球2,545光年的“Kepler 90”星系多颗行星，远远超过了人类天文学家的能力。科学界认为，多行星的星系的是最有可能发现地外生命体的环境。在人类目前一直的宇宙探索中，绝大部分的恒星仅拥有1个或者2个行星，而像我们太阳系这样拥有庞大家族的星系一度被认为是非常罕见的。现在这个多行星星系的发现非常重要，这次发现被普遍解读为找到了“第二个太阳系”。

   机器如何能在浩瀚繁星的数据中，恰如其分找出哪些数据有意义呢？关键在于对样本点的选取。

   可能很少有人注意到，采集样本点的实质，就是采集特征值：

   AX=αX ，其中阿尔法α代表特征值、X是特征向量、A是矩阵

    进一步看，任何一个有理矩阵的特征值都是代数数；并且 ，任何一个代数数也一定是有理方阵的特征根。

     大家知道，不同的事物对应于不同的特征属性，在数学上可以理解为一组特征基上的特征值。由于样本点选取数量的差异，表达特征属性的特征基的个数也会不同，这意味着参照系维数的不同。理想化考虑是，以绝对多的维数去度量绝对精确的特征属性；并且，以完备的一组特征基来度量全部算符，这样能确保所有两两算符都有阿贝尔交换性（因为特征值是标量，而标量乘法满足交换律，两个算符有共同特征基上意味着它们的所有投影皆满足交换律）。

   不过遗憾的是，所谓绝对多的维数是不可测的，因为可观测的样本点只能是可列的（最多为阿列夫0），而客观世界的特征维度至少是阿列夫2维的（比如量子本征态）。

    那么，如果以可列的样本点来表达不可列的特征属性，是否可靠呢？   

    直观上，电子计算机的离散数字信号似乎能够高保真刻画连续模拟信号。不过，类似压缩技术的有效性，有严谨的理论保障吗？

    这里，以阿列夫2维的矩阵力学量子本征态为例。我们知道，海森堡群是局部紧的非交换的幂零李群，这意味着连续可微的傅立叶谱分析。傅立叶分析有一个重要性质，在于其离散样本点取值的不变性：

相似矩阵（等价类）的类特征标（矩阵的迹），与多重线性张量的对偶空间的样本点之和，有深刻内在关系：

   可见，以离散样本点来度量阿列夫2维度傅立叶谱量子态空间，是可行性。

   进一步，更普遍意义下，如果以离散样本点来度量李群和李代数的张量积空间是否可行呢？