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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十三)(6)

已有 3743 次阅读 2017-10-29 15:16 |系统分类:科研笔记

13.6  从向量特征基到生成元

 

   AlphaGo又荣登了《自然》,再一次万众瞩目。新版本的AlphaGo zero棋艺爆棚,并不稀奇。令人震撼是它超越人类的速度,它彻底弃用人类经验,从零自学短短三天后,就以100:0打得人类棋谱训练的老版本落花流水。AlphaGo zero算法并不复杂,算力也没有提升,它只是巧借了高阶逻辑的强大威力 。

   很多专家说“深度学习”的成功带有偶然性,因为其理论基础仍难以让人信服。事实上,“深度学习”原理之所以令人费解,并非其理论基础不牢固,而是因为我们熟悉的自然语言一阶逻辑方式,禁锢了很多人的思维,妨碍了对于高阶逻辑的理解




     我们再来回想一下人类文明成长史。

       最初,人类先祖超越畜生阶层,是因为发明强大工具----“矛”,也就是把尖石头和木棍捆绑拼凑而成:
   【新石器】     尖石头木棍 => 矛

     幼儿园小朋友思维练习,最开始是把长方体、 圆锥体等等积木块拼凑一起,造城堡:
   【堆积木】     长方体 圆锥体 => 城堡

     学校解题过程,一般都是由某某几个定理分步推导而出,即:
   用题】      定理1 + 定理2 => 习题

     自然科学鼻祖,欧几里德《几何原本》,证明了公理体系可以解决大量问题:
  【公理化】      公理i +  公理j  => 定理



   请注意,上述这些系统的共同特点,是把某种事物的特征属性分解为其子属性的“这就是线性空间分析的基本原理!


    但是,我们知道大千世界事物间关系除了‘逻辑或’(加法,还有一种关系是‘逻辑与’()。

    在同一属性下的标量加法法,大家熟知,即数域里的加减乘除四则运算,很简单,小学阶段就有了。

    不过,不同特征属性却非常复杂。

    两千年以来,自然科学量化系统的参照系,人类熟悉理解的只有线性空间,因为它相对简单。线性空间最重要的是维度递增的性质,即发现一种新的特征属性,就添加一个维度特征基。另一方面,一个一个维度特征基堆砌而来的线性空间,所表达的对象是不允许特征属性复合相换句话说,线性空间表达的特征属性的方法,仅仅限于特征属性(即维度n+1递归),线性空间单属性特征基的性质使其根本无从表达复合特征属性





     《几何原本》发现,一般的几何属性都可以分解为最基础的10个基础特征。后来,公理体系理论把这种最基本的特征属性统称为特征基并以此理论在各个自然科学分支中成功建立了线性空间参照系,使得各个自然科学得以严谨量化和推演。

      然后,希尔伯特梦想,希望把这些各自小范围的线性空间参照系一体化,从而大一统整个自然科学体系。遗憾的是,哥德尔发现了‘说谎者诡论’无法分割的复合逻辑,‘说谎者诡论’是第一句表达语义特征属性的句子【如果A,则有非A】与第二句表达语义特征属性的句子【如果非A,则有A】的联合特征属性的复合体,这里的“并且”意味着两个句子语义的特征属性复合但是,因为线性空间特征基只能表达单一特征属性,哪怕递归增加特征维度到n+1维以至无穷维,线性空间参照系也只能表达特征属性法,表达不了特征属性乘法。因此,语义特征属性复合‘说谎者诡论’的复合逻辑,超出了线性空间参照系的逻辑范围,体现为不可判定性。






     本质而言,不完备性定理和不确定性原理的问题正在于此,根本原因在于我们熟悉的线性空间特征属性只能相加、无法相乘。

      说谎者诡论复合语义对于线性空间参照系不可判定。

      量子态的位置动量复合关系对于线性空间参照系不确定。


     


     虽然Δx与Δp关系在线性空间存在不确定性现象,但是‘Δx与Δp的乘积整体是确定的。其实,只要我们选取的参照系允许特征属性相乘,那么不完备性定理和不确定性原理的问题就能迎刃而解。







     尖石头木棍制造矛。把不同零件在一起组合创造,我们熟悉。

     不过,如果不同零件在一起,比如‘尖石头木棍’,那是什么东东呢? 这超出了我们惯常理解范围。


     尽管不同特征属性相乘难以理解。但是客观世界复合特征乘积大量存在,比如相对论‘应力-能量张量’、量子力学‘量子纠缠’、深度学习人工智能模型‘多层特征复合’、李群‘交换子’。所以,研究特征属性逻辑乘法的意义重大,而这正是群论思想的核心。




         群论里也有类似于特征基的概念,叫做“生成元”

         群论生成元是线性空间特征基概念的扩充,线性空间基特征属性只有加法(n+1维递归),而生成元特征属性既可以相加也可以相乘从特征基到生成元,虽然表明只是特征属性加法特征属性乘法的扩展,但这是群理论相对两千年来公理系统理论格局的最关键逻辑突破,使得线性空间参照系的一阶逻辑得以提升至群参照系的高阶逻辑。











    特别注意,虽然模张量加减乘除与小学四则运算分配律、结合律、交换律,形式上看起来差不多。但是内在逻辑却大相径庭,无特征属性概念的数域四则运算甚至连一阶逻辑都算不上,而多重特征属性模张量是高阶逻辑的。四则运算加减乘除演算对象是同一特征属性标量(数域),模张量加减乘除演算对象是不同特征属性张量(群生成元)。




     历史以来,我们的自然科学理论都是基于线性空间的,而因为线性空间的单特征属性,所以传统理论都是以一阶逻辑为基础的演算。所以,当复合特征属性的高阶逻辑化的AlphaGo zero出现时,即使人类文明积累了千年的围棋理论知识,也被羞辱出如此不堪的弱智。




  在逻辑结构上,深度学习模型的多隐层多层次线性关系(a的n次方维度)意味着高阶逻辑其逻辑表达的范围(阿列夫2维特征基)远远超越了线性空间一阶逻辑的局限(阿列夫1维特征分析)。

  以数学眼光而言,深度学习模型的多隐层多层次线性关系意味着(n阶a维)高阶张量,其(a的n次方维)表象空间n趋于阿列夫1阶无穷大时a的n次方维即阿列夫2阶无穷大维远远超越了平面矩阵的特征属性表达范围局限(阿列夫1维)



   在数学本质来看,深度学习模型相当于n阶m维张量(即‘m的n次方’特征维度),n表示隐层的层数,m表示每一层的特征参数。

    更深的结构意味着n比m多,而更胖的结构意味着m比n多。

    显然, 更深的结构时的‘m的n次方’特征维度,意味着更完备的特征表达(n趋于阿列夫1阶无穷大时,m的n次方维意味着阿列夫2维

    另一方面, 更胖的结构时的‘m的n次方’特征维度,意味着少得多的特征属性(m趋于阿列夫1阶无穷大时,m的n次方维还是阿列夫1维






       同样地道理,可以解释为什么四维闵氏空间复合而成的广义相对论是确定的,而连续无穷维傅立叶谱分析的量子力学却表现为不确定性:

    广义相对论的n阶4维张量是‘4维的n次方’特征维度黎曼流形n趋于阿列夫1阶无穷大时‘4维的n次方’意味着阿列夫2维特征基),阿列夫2阶无穷大特征维度是完备的张量空间,所以广义相对论是确定的。

    量子力学的连续无穷维矩阵是‘m维的2次方’特征维度谱分析(m趋于阿列夫1阶无穷大时‘m维的2次方’仍然是阿列夫1维度特征系统,所以傅立叶谱分析下的量子态仍然表现为不确定性(阿列夫1维度傅立叶谱分析参照系,相对于阿列夫2维度特征属性的高阶张量系统不完备)。




 







   

    广义相对论的n阶4维张量是‘4维的n次方’特征维度广义黎曼空间流形n趋于阿列夫1阶无穷大时‘4维的n次方’意味着阿列夫2维特征基,直接计算显而易见会遇到维度灾难。但是,如果把高阶张量运算转换为李群则要简单得多。广义黎曼空间保持闵氏度规不变性的群变换,是由4个平移、3个转动、3个伪转动的生成元复合而成,这只是10维的李群。可见,10个群生成元的特征维度远低于‘4维的n次方’个向量基的特征维度,这极大简化了运算难度。















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