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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨(十二)(5)

已有 8227 次阅读 2016-9-24 08:53 |系统分类:科研笔记

12.5 群参照系


   上节提到,伽罗华当年奇思妙想,以旋量为基础建立了群空间,替代以向量为基础的线性空间,从而攻陷千古难题最后的堡垒

   由此,我们自然要思考,伽罗华的旋量基是不是打开更广泛新空间的新钥匙呢?


   以旋量作为参照系的基础,到底是异想天开、或是锦囊妙计呢?



  从两千年前欧几里德《几何原本》以来,所有的自然科学都以向量空间为参考系。现在突然冒出个旋量参照系,虽然它在代数系统捡到了金元宝,但是这种对称性理论对其它的更广阔的自然科学分析会有效么?


  很快,大家就发现它不是有效,而是超级有效。

  群屠龙大刀一出手,便在量子江湖披荆斩棘,杀出一条血路。在矩阵力学初期,有几个基本问题:l、不动点定理与不确定性原理是矛盾的。2、希尔伯特空间不仅是无穷维,而且还是连续无穷维的,但即使这样希尔伯特空间仍然无法表达狄拉克delta函数。3、如果要强行以向量空间来完备表达量子态,则至少需要阿列夫2维度的基。不过,这些问题在引入群论之后便迎刃而解。比如泡利矩阵是二阶酉空间SU2群的无穷小生成元,同态于三维欧式空间旋转SO3群

   另外,爱因斯坦以麦克斯韦方程光速恒定为起点,在不违反因果关系基础上,推导出了复空间的圆,从而在相对论中引入了旋量参照系。




   当然,代数系统、量子力学、相对论中旋量参照系也许只不过是碰巧的特例而已。人工智能机器学习面临的是更加广泛的更加普遍的客观世界。那么,以旋量为基础的群参照系对于通用人工智能有效吗?旋量为基础的群参照系是放之四海而皆准的普遍真理吗?









   群论中有个基本概念叫做“同态”,同态映射保持了两个系统的结构一致性。比如,人有五脏内腹、麻雀也五脏俱全,虽然人和麻雀一个大一个小,但二者生物结构是一致的。这就是同态。

  我们的思维过程,其实就是同态映射的演化。我们认知一只小鸟、一棵树木、一栋房屋,并不是把小鸟、树木、房屋实体搬入大脑,而只是映射了不同物体的逻辑结构。这种结构不变的逻辑,即同态。

  正因为人脑认知通过同态结构映射,所以同一个概念在不同人的大脑中,将会映射出相同的图谱。nature公布的人类大脑地图的最新发现,印证了这种逻辑同态现象:

    https://m.v.qq.com/x/page/l/4/a/l0197ldu34a.html?coverid=&favid=148


   无容置疑,同态结构是逻辑认知的基础。


    一花一世界、一叶一菩提,大道至简。




   群论的最最基本同态结构叫做“单群”。


   伽罗华群的通天秘密正在于单群:如果置换群完全由素数阶的循环群Zp构成,则有完备根式解;反之,如果置换群混入了交错群An,则根式解不完备。这里,循环群Zp和交错群An,就是日后大名鼎鼎威震天下的单群。

   在单群家族中,除了开山鼻祖创立的循环群Zp和交错群An两大门派,还有16族有限李群。同时,与这类名门正宗同台竞技的,另有26个单独存在散在单群。

   从伽罗华开始,无数的数学家醉心于寻找魔幻绚丽的单群,很多人前仆后继,不间断搜索跨越两次世界大战,历时一个多世纪,随着1976年最后一个散在单群被发现,2004年“有限单群分类定理的最终证明,整个证明散落在各期刊的500多篇论文之中,合计过万页,每篇论文都对某种特殊情况进行了处理。将这些特殊情况合起来,覆盖了全部所有的有限群类别。这场数学家集体努力的狩猎和有限单群之间的捉迷藏游戏终告结束。在这部单群巨大合著,包含着无数数学家辛勤的汗水、粉笔、墨纸和数不清的不眠之夜。但是巨著的结论却异乎寻常的简洁,整个世界,全部的所有的一切的单群,只有18个有限单群家族、再加上26个散在单群。

   不识庐山真面目、只缘身在此山中。复杂的大千世界,玄幻的高阶逻辑,在群论之下竟然出奇简洁。物质世界由118种基本化学元素组成,生物世界由20种氨基酸组成,逻辑世界由44种单群组成。

     



    44个单群结构,构成了全部所有一切的群参照系!!!






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