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代数几何小科普2:无穷远点很特殊吗?

已有 10640 次阅读 2014-8-6 11:07 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 科普, 代数几何, 射影几何

博主按:本文最早发表于善科网, 后投至新语丝科普征文比赛(并未获奖)。今将此文稍作修饰,移至本博客。


1.引子

在平面几何中,我们认为“平行直线不会相交”。这个观点在射影几何中得到了修正:“平行直线相交于无穷远点”。无穷远点并不在我们通常理解的平面之内,而是在平面之外的“无穷远处”。为了方便说明,这种点通常用∞来标记。因此在不同的几何学范畴内,上面的两种结论并没有矛盾。



对一般人来说,无穷远点的概念并不像普通的点那样容易接受。通常,我们只是直观上想象这样的点处在极为遥远的“天涯尽头”。正因为这种无穷远点给人某种模模糊糊、虚无飘渺的不确定感,所以人们很容易产生疑惑:这样的点是否真实存在?答案是肯定的。事实上,现代数学可以用几种不同的定义方式来理解无穷远点。这些定义都是彼此等价的。不过它们的严格叙述都充满了技术味道,对初学者来说是相当枯燥的。我们并不打算详细介绍这些技术性的数学定义。

我们将通过一些直观的例子来帮助读者理解无穷远点, 并且希望能解释这样一个事实:

无穷远点和普通的点的唯一区别仅仅是它所处的位置。

这就好比,球面上南极点(北极点)实际上和球面上其他的点并不存在差别。其实你可以任意指定某个点是极点。当你把无穷远点当作普通的点看待后,很多问题都会变得清晰明朗起来。


2.一个简单的例子:直线和无穷远点

   我们首先考察最简单的情形:直线上的无穷远点。想象一下,有两个人背对背,从原点出发分别沿着直线的两个方向行走,他们最终会相遇吗?直观上说,我们认为他们不会相遇,相反是越离越远。这正好对应了成语“背道而驰”和“南辕北辙”的意思。





但是如果我们把无穷远点也添加到直线里,情况就会变得不同:这两个人最终会在无穷远处再次相聚。为了理解这一点,我们可以想象一下:把直线左右两端的无穷远处黏合起来,这样直线就变成了圆圈。在圆圈上,两人从一开始的原点出发朝着不同方向走,很显然会在圆圈上另一个点处再次碰头。我们可以把这一点记作∞。这一直观的事实也可以用成语“殊途同归”来描述。



为什么直线添上无穷远点后恰好就是圆圈?尽管直观上想像这件事并不困难,但要严格地说明它,则需要一些数学上的技术手段。让我们在圆圈上的∞处放上一个电灯泡,灯泡的光线会投射到上方的直线上。


很显然,圆圈上除了∞外,每个点P在直线上都有唯一的投影点P'; 反过来,直线上任何一个点P',都有唯一的一条光线经过它,这条光线也穿过圆圈上唯一的点P。这就是说,直线上的点和圆圈上的点(∞除外)之间可以通过光线投影的方式一一对应起来。

但是有一条光线很特殊, 那就是和直线平行的光线。这条特殊光线和直线没有交点。 一个自然的想法是:我们再把直线外的无穷远点和圆圈上的点∞通过这条特殊光线对应起来。换句话说,我们认为这条特殊光线其实是投影到了直线外的无穷远点处。通过这样的方式,整个圆圈就能看作添加了无穷远点的直线。



我们把这种通过光线投影来建立对应的方法称作“球极投影”;把添加了无穷远点进去的直线称作“射影直线”。上面的讨论换成这些花俏的名词,就是说:射影直线和圆圈在球极投影下可看成相同的事物。

无穷远点∞在射影直线上看,位置似乎很特殊,甚至有点难以想象清楚。但是当你把射影直线当做圆圈看时,会立刻发现,∞其实和圆圈上其他点没啥不同。既然如此,我们是否可以用圆圈上其他点替换∞呢? 答案是肯定的。比如我们把电灯泡放在圆圈最东侧的点E上:



此时的投影和之前的有点差别。首先,点E此时也可以投影到直线上的普通点E'(通过它的光线恰好和圆圈相切于E)。其次,E的对径点W无法投影到直线上的普通点。这是因为经过它的光线EW与直线平行,所以光线的投影点实际上是在直线外的无穷远处。 除W外,圆圈上每个点都可直线上的点一一对应;而W则对应直线的无穷远点。

上述例子告诉我们,每个点都可以在你的事先指定下成为射影直线上无穷远点(如果你把射影直线看成圆圈的话)。因此它不具有特殊性。这有点类似于俗语“众生平等”的意思。


3.举一反三:平面和无穷远点

上面的例子很富有启发性。你也可以尝试在平面外添入无穷远点。我们有两种不同的添入无穷远点的方式,通过它们得到的扩充平面却是两类非常不同的几何物体。

第一类方式就是类比直线情形:把直线替换成平面,圆圈替换成球面。我们把灯泡放在球的北极点,然后做光线投影。


和直线情形类似,球面上除了N外每个点都唯一对应了平面上的一个点,反之亦然。然后我们把N对应平面外的一个无穷远点∞用这种球极投影的方式,我们得到一个扩充的平面,它是由原始的平面添上一个无穷远点得到的。

另一方面,平面上的点又可以看成一个复数, 反之亦然,因此有时我们也把平面看成复数全体构成的集合, 也叫做复平面。这样,上面的扩充平面也相当于复数集合添上了一个无穷远点∞如果你把复数想象成类似实数那样可以排成一条直线形象上叫做“复直线”,那么它添上∞后就像是一条扩充的直线,我们通常把它形象上叫做“复射影直线”。上面的讨论相当于告诉你,复射影直线可以看成球面。因此也同样可以看到这样的无穷远点其实和其他点完全一样,他们的差别仅在于位置的不同。你同样可以事先指定其他点作为无穷远点。

第二种添加无穷远点的方式如下: 我们考虑经过原点的所有直线,每条直线外都对应了一个无穷远点(上一节讨论过了)。这些无穷远点两两不同—因而我们得到无数多个无穷远点—它们全部添入平面后,即得到扩充的平面。 我们通常将它称做射影平面。



所有这些无穷远点其实构成了一个大圆圈—有时我们把它叫做无穷远直线(因为它也可以利用上一节的方法看作一条射影直线)。如果你想象一下的话:这个大圆圈看上去就像是普通平面外面扎的大篱笆。



当然,这种想象是不严格的,但是它可以帮助我们体会射影平面的概念。数学上有很多不同的办法可以等价地描绘射影平面。比如一种办法是将下面的半球的截口上每一对对径点粘合起来—这在现实中是做不到的。



不管你采用何种方式,你都会发现仍然很难清楚准确地将射影平面构造出来。这是为什么呢?本质的原因在于,射影平面根本不是三维空间中的几何物体!也就是说它不能通过三维空间的图像完整无误地显示出来。我们只有将它放在高维空间中,才能准确无误地搞清楚其结构。这就需要一些数学上的手段了。

尽管这多少有点让人失望,但我们可以通过投影的手段,把它压缩投影到三维空间中来看。这有点类似于拍照片,把三维的物体压缩到二维平面上看,虽然这么做会损失到一部分信息。射影平面在三维中的一种投影图像如下:




你可能同样会问:无穷远直线(也就是所有无穷远点的集合)是否很特殊呢?答案同样是否定的。其实在射影平面中,任何一条射影直线都能被事先指定为无穷远直线。这样一来,平面外的无穷远点其实和普通点仍然没有什么特殊差别,仅仅是位置不同而已!当然,要严格说清楚这些事并不是那么轻而易举。我们仍然需要借助数学手段才能做到。

4.为什么我们需要无穷远点?

接下来的问题是:为什么我们要引入无穷远点呢? 实际上,我们传统意义上研究的直线、平面等等几何空间都是不完整的,添入无穷远点后,这些空间才变得完整无缺。无穷远点本来就是空间的一部分,它和其他点除了位置不同外,没有什么不同。因此,如果我们人为地不接受甚或遗弃它们,显然是不理智的。这样做甚至会给讨论带来很多人为的障碍--只要想想复数的发展历史你就明白了。

此外,有很多几何现象,在这些通常的空间中看似乎很不一样,甚或没有什么联系,但是当你把它们放在更大的背景舞台--射影空间--中看,就会发现,这些现象其实只不过是同一事物在不同位置上的表现而已。

举个最简单的例子:在平面几何中,我们讨论两条直线相交情况,需要人为地区分为“相交”和“平行”。但是如果我们在射影平面中讨论这个问题,事情就很简单,我们会发现任何两条直线都恰好交一个点。这个交点是不是无穷远点根本不重要,因为无穷远点和其他点在射影平面中没什么差别。我们通常所认为的差别实际上是人为造成的不必要的思维枷锁。



最后,我们再举一个例子来说明:引入无穷远点为什么是有用的。在平面几何中,我们研究椭圆、双曲线和抛物线。通常的观点会认为这三者是很不一样的---在中学里我们也是分别来讨论它们的。



但是在射影平面中,你会惊讶地发现, 这三者其实是同一样东西!它们之所以在坐标平面中显得不一样,只是因为它们和无穷远直线相处的位置不同(回顾上一节讨论,无穷远直线就是平面外全体无穷远点构成的“篱笆”)。这可以从下面的示意图看出来:



这个例子再一次印证了成语“盲人摸象”的道理。我们之所以看到三种不同的二次曲线图像,仅仅是因为我们只看到了完整图像的一部分!



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