半经典动力学和非线性电流

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电输运是固体物理研究的中心课题之一。材料的电输运性质不仅可以帮助我们更好地理解材料的微观结构，同时也被广泛应用于日常生活中。对电输运的最直观的解释—Drude理论，将扩散区域电输运认为是电子不断地被电场加速，又不断与杂质碰撞形成的宏观上稳定的运动。此后，人们用更系统的玻耳兹曼理论去解释电输运，并将其与电子的微观能谱联系起来 [1]。

近些年来，人们认识到，为了准确描述在电输运中所用到的电子的微观运动，除了电子能谱之外，我们还需要一些规范不变的几何量，比如贝利相位和贝利曲率。这些量对电输运有深远的影响。贝利相位是系统在随参量缓慢演化并回到初始值时所积累出的相位，而贝利曲率则是此相位在参量空间的面密度 [2]。固体材料的周期性结构提供了一个自然的参量空间，即晶格动量所组成的布里渊区。电子在有外场时其晶格动量会发生变化，此变化即可积累贝利相位并反过来影响电子的演化 [3]。实际上，贝利曲率可以认为是在布里渊区里的磁场——它可以使电子的运动发生弯曲。这种弯曲和真实磁场造成的一样，都可以引起霍尔效应 [3,4]，即垂直于电场方向的电流。令人惊讶的是，由贝利曲率造成的霍尔效应在一些材料中是量子化的。这可用于对材料进行拓扑分类，加深了人们对材料物性的认识 [5]。同时，贝利曲率和真实磁场的类比有着更深刻的内涵。由狄拉克所提出的真实磁场的源——磁单极子仍然未被发现，但是和贝利曲率相对应的磁单极子在固体材料中却有很多例子。最典型的是Dirac/Weyl 半金属，其中至少含有一对磁单极子，作为贝利曲率的源和漏。它们会对外磁场产生不同的响应，并反映在Dirac/Weyl半金属的很强的负磁阻上 [6,7]。

一般地，在扩散输运范畴，电流可以在外电场和外磁场下进行展开，即有如下形式：

贝利曲率仅仅提供对电子动力学的第一阶的修改。换言之，它可以使我们更准确地理解上述展开中的第一项，即线性项。而电流亦包含多种非线性贡献。不同的贡献需要系统满足各异的对称性要求（如表1所示）。所以这些非线性电流对于深入理解并研究不同的材料有重要的作用。

表1 不同的非线性电流需要系统所满足的时空对称性。表中的系数定义基于把方程(1)中的非线性的电导系数对弛豫时间τ的如下展开：

为了深入理解这些非线性电流和材料的微观电子能谱以及布里渊区的几何性质的关联，我们需要发展更准确的电子动力学理论。本文的目的即是总结在此领域的一些进展，包括如何获得准确到第二阶的电子动力学理论，如何用其去理解各种非线性电流和材料微观结构及电子性质的关联，以及如何用第一性原理的方法去计算这些非线性电流。

详细内容请参考Frontiers of Physics近期发表的综述文章“Semiclassical dynamics and nonlinear charge current”(doi:10.1007/s11467-019-0887-2)。

1．  N. W. Ashcroft and M. Mermin, Solic State Physics, Harcourt, Orlando, New York, 1976

2．  M. V. Berry, Quantal phase factors accompanying adiabatic changes, Proc. R. Soc. Lond. A Math. Phys. Sci. 392, 45 (1984)

3．  D. Xiao, M. C. Chang, and Q. Niu, Berry phase effects on electronic properties, Rev. Mod. Phys. 82 (3), 1959 (2010)

4．  N. Nagaosa, J. Sinova, S. Onoda, A. H. MacDonald, and N. P. Ong, Anomalous Hall effect, Rev. Mod. Phys. 82 (2), 1539 (2010)

5．  X. L. Qi and S. C. Zhang, Topological insulators and superconductors, Rev. Mod. Phys. 83 (4), 1057 (2011)

6． D. T. Son and B. Z. Spivak, Chiral anomaly and classical negative magnetoresistance of Weyl metals, Phys. Rev. B 88 (10), 104412 (2013)

7． N. Armitage, E. Mele, and A. Vishwanath, Weyl and Dirac semimetals in three-dimensional solids, Rev. Mod. Phys. 90 (1), 015001 (2018) 

Mengyun He, Huimin Sun, and Qing Lin He, Topological insulator: Spintronics and quantum computations, Front. Phys. 14(4), 43401 (2019)

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Hai-Zhou Lu and Shun-Qing Shen, Quantum transport in topological semimetals under magnetic fields (i), Front. Phys. 12(3), 127201 (2017)

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