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天才的杰作:麦克斯韦速度分布率

已有 7258 次阅读 2015-9-24 05:52 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

今天听巴黎高师物理系主任Werner Krauth讲课,他提到了maxwell。

这让人想起统计物理里的maxwell速度分布率。

考虑空气中的分子,这些分子的速度分布如何?这显然是个很基本的问题,是不是?

大概150年前,maxwell仅凭两条简单而合理的假设就解决了这个问题。

记f(x,y,z)为分子速度为(x,y,z)的几率。

第一点,空间中各个方向是等价的,所以实际上,f仅仅是速度的绝对值的函数,即

f(x,y,z) = g(x^2+ y^2 + z^2).

第二点,x方向的速度与y方向或者z方向的速度应该是独立的,也就是应该有

f(x,y,z) = h(x) h(y) h(z).

简单的计算即可证明,函数h是个高斯函数,由此即得到著名的maxwell速度分布率。也许在maxwell看来,证明是如此简单,以至于他在原始文章里根本没写证明过程

至少在笔者看来,这是天才的杰作!只有天才才能做如此简单的工作!普通人为了混饭吃总是把简单问题复杂化,添了酱油再添醋。

注意到maxwell得到他的结果是在boltzmann发展统计物理分子运动论之前。固然今天的人们可以直接利用boltzmann的统计物理得到maxwell分布率,而maxwell分布率不过是boltzmann分布率应用到气体的一个特例(事实上,很多时候,这个分布率确实叫maxwell-boltzmann分布率),了解maxwell的推导依然是值得的。

回到开头,Krauth提到maxwell是因为这样一个问题:考虑三维空间里的一个二维球面,如何在上面均匀地随机取点?这显然也是个简单而有趣的问题。

答案是生成三个高斯分布的随机数,也就是在三维空间里按照maxwell分布率取一个矢量,这个分布是转动不变的。把矢量归一化后,就实现了对球面的均匀取点。

注:Werner Krauth教授是monte carlo方面的著名专家,他同时也热衷于教学,特别的他是线上教学的积极推动者。他的公开课在这里。强烈推荐!



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