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绝热不变量---从一个“简单“问题谈起 精选

已有 6556 次阅读 2015-8-19 04:48 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

好的结果来自好的问题,好的问题是简单的问题(按照张振宇教授的说法,应该再加上一句,好的解答是简单的解答)。

在中国人尽皆知的哥德巴赫猜想就是一个简单的问题。这里“简单“是指问题本身不需要什么背景就可以被理解。任意大于2的偶数都可以写成两个质数之和------这个命题任何小学五年级学生都能够理解。

哥德巴赫猜想这个“简单“问题还是太难,这里我们还是讨论一个更简单的问题。不过这是个物理,而非数学问题。

大家都知道单摆。在小幅振动下,单摆接近于一个理想的弹簧振子,所以其周期与振幅无关。现在,考虑如下图所示的一种情形,我们通过顶部的孔缓慢地改变摆长。如果在初始时刻摆的幅度为a的话,那么当摆长减小一半的时候,摆的幅度多大?

因为摆的周期是摆长的函数,所以本质上,问题是这样:对一个弹簧振子,已知初始时刻振幅,现在缓慢地增加弹簧的倔强系数,振子的振幅如何随弹簧的倔强系数变化?

是不是觉得类似歌德巴赫猜想,这个问题简单(从定义上讲,任何高中生都明白问题所在)而又困难(从解决上讲)?

确实,这是个非常非常好的问题。这个问题曾经在旧量子力学时期起过关键作用。

大家都知道玻尔的量子化方案: 取圆形轨道,角动量是某个常量的整数倍。从解释实验数据的角度来看,玻尔理论很成功。不过,从理论系统性的角度来看,玻尔理论凑的特征明显。为什么偏偏是角动量?为什么不是能量,或者轨道半径?

类似玻尔量子化方案,普朗克和sommerfeld等也都有过自己的量子化方案,也都能够得到跟实验高度吻合的数据,不过所有这些方案都存在一个遗憾: 它们不能回答为什么量子化的是那些特定的量。

这个问题被后来自杀了的Ehrenfest解决。Ehrenfest是也自杀了的玻尔兹曼的博士生。在跟boltzmann研究统计物理的时候,Ehrenfest接触到了绝热演化这个概念。这导致他能够用变化,用运动,用联系的观点看一系列系统,而不是盯着一个孤零零的系统看。一旦有了这个视角,该量子化什么量就显而易见了。拿玻尔玩过的氢原子来看,我们可以考虑这样一个情形。类似上面缓慢地改变摆长,假设我们可以缓慢地改变电子的电荷,假设我们将电子电荷减少2%,从经典力学的角度来看,原来处在某个量子化轨道上的电子的运动轨道将会发生变化(显然是变大)。如果某个量是量子化的,那么一方面它只能取分立的值,另一方面它只能连续变化,所以它将保持不变。所以,应该被量子化的力学量只能是那些在系统参数缓慢改变中不发生变化的量。而在氢原子里,角动量确实是这样一个量!

所以,Ehrenfest指出,被量子化的量只能是绝热不变量!

这便提出了一个问题,如何寻找绝热不变量?经典力学的一个重要定理是刘维尔完全可积定理。这个定理指出,如果一个f个自由度的哈密尔顿系统存在f个独立的首次积分,那么这个系统完全可积。对于完全可积系统,有个特别方便的坐标系,即作用量-角量坐标系。可以证明,每一个作用量便都是一个绝热不变量。

所以从这个角度来看,我们便能够理解为什么玻尔的旧量子理论能够量子化氢原子,而不能量子化氦原子------因为前者完全可积而后者不可积。今天我们甚至知道后者是个混沌系统。

回到一开始的单摆问题。因为这个系统是一维,所以必然完全可积,因为存在能量这个首次积分。具体的计算可以发现,作用量是摆在相平面上轨迹所包围的面积,在数值上等于能量除以角频率。所以,在摆长变化,也就是角频率变化的时候,不是能量守恒而是能量与角频率的比守恒!


后注1:摆这个问题据说是在1911年的solvay会议上由lorentz提出来的。大家看到了,作为一个经典力学问题,这个问题其实挺难的。但是,作为一个量子力学问题,这个问题却非常简单。按照量子的绝热定理,如果开始摆处在第n个量子态上的话,那么摆将一直保持在第n个量子态上。所以,量子力学在很多方面比经典力学简单得多。就这个例子而言,量子化甚至能够帮助我们解决原来的经典力学问题。经过量子化,我们知道E/omega是个不变量。量子力学比经典力学简单还在于,对于一个更一般的问题,比如如果我们缓慢改变氦原子里的原子核的电荷,量子力学依然有非常简单的图像(即在第几个本征态上就一直在第几个本征态上),而经典力学则完全无轍!这个系统不可积,所以不存在绝热不变量了!

后注2:如果哪一天要给学生讲分析力学,我会在课程开始就提出这个问题,告诉学生我们一整个学期的目的就是解决这个问题。这应该会极大地激发学生的兴趣。

后注3:将摆近似为理想间谐振子其实不是必须的。凡一维问题都完全可积,所以问题的图像依然简单。



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