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彩虹的数学与物理

已有 11914 次阅读 2017-12-28 12:05 |个人分类:物理学史|系统分类:科普集锦

很多朴素的现象,蕴含的学问非常深刻。日常所见的彩虹就是一个很好的例子。

历史上,古希腊时代的学者就试图解释之。之后,伊斯兰世界的学者如ibn al-Haytham等又接着研究,其中 ibn Hasan确定了其中发生的物理过程,即光经折射进入球形水滴后又在水滴内表面发生多次反射,最后经一次折射返回空气。据说他还用球形的玻璃瓶演示过这一过程。

这大概就是一般科普读物中普遍的说法。

但是这只是找对了物理过程,还没有建立完整的机制。具体来讲,一个很关键的问题还没有被回答,即彩虹对观察者的张角为什么固定在42度左右?很显然,不同的入射光线有不同的入射角度,也就有不同的折射角度,最后就有不同的净偏转角。这个固定的角度怎么来的?

这个问题被笛卡尔解决。

笛卡尔通过做跟 ibn Hasan类似的实验发现,这个42度角对应于所有可能的净偏转角的最小值,即138度。下面的图展示的就是这一关键事实。一组平行光线自左边过来,它们经一次折射进入水滴(折射率为4/3),然后发生一次反射,最后再经一次折射离开水滴。所有光线中,那条红色的线很特别,它的入射角不大不小,但是它的净偏转角最小!

定量地,我们可以画出净偏转角随入射角变化的曲线,如下图。竖直的虚线标出了最小值点。在这个最小值点附近,净偏转角随入射角变化率为零,大量不同入射角的光线最后具有几乎相同的出射方向。这就意味着,在这一出射方向,存在光线的密集效应(这在上面的图中大致可见)。定量地讲,光强在这一方向发散为无穷大!这就是我们所看到的彩虹所在的方向。


所谓彩虹的张角为42度,只是一个大概的说法。彩虹有个有限的宽度,主要表现为存在明显的色散。从外往里,颜色从红到蓝。这一现象笛卡尔没能解释,后来被牛顿解释了。牛顿发现了光的色散。所以有个说法是,笛卡尔把彩虹挂在了天上,但是是牛顿把它画出来。

笛卡尔对彩虹的解释包含了很大的正确成分,但是显然它又不是一个终极的理论。将彩虹的存在归结为光强的发散,既正确又错误。真实的情况应该是充分大而有限。而且,按照这个解释,从光强为无穷大到光强为零,是不连续的,真实的情况应该是连续变化。

如何避免无穷和突变,得到有限和连续?光的粒子说没法避免,但是波动说就很自然。

定量的工作来自天文学家Airy。

在1838年(比鸦片战争还早2年)的一个经典文章里,airy用波动说研究了彩虹(其实他的结果很一般,彩虹只是一个特例)的光强分布。他最后将问题归结为计算积分

其中m正比于对彩虹理想角度的偏离。

这个积分没法解析地做,必须数值。Airy的文章的很大一部分是做这个数值积分。他的做法是这样的,把积分区间分成0到2和2到无穷两段。对第一段,他用的办法本质是newton-cotes方法;对第二段,他解析地得到无穷展开式,截取前几项。经过大量的机械劳动,他得到了下面一张表,覆盖的范围为(-4,4)。

后来人们发现,airy通过积分定义的这个函数其实很不一般。在一定的伸缩变换后,它是微分方程

的一个(具有良好性状的)特解!这个方程非常简单,因此也就重要,方程本身以及其解也就值得拥有一个专门的名字,于是我们有了所谓的airy方程和airy函数。上面的airy方程是个二阶微分方程,具有两个独立的解,都被叫做airy函数,其中airy通过上面的积分定义的那个解在实轴上不发散,一般记为Ai(x),而另外一个存在发散的则记为Bi(x)。

计算这两个函数需要一些技巧。airy本人的办法是不够的,这导致他只能算很小一个区间内的值。后来大牛stokes发明了一个聪明的办法,能够很容易地对任意x计算Ai的值。为此,stokes开创了渐进级数的应用。

最后展示下Ai(-x)(其正比于airy的积分)的图像:

看到没?在x=0处不存在发散。在x<0区域,函数迅速衰减,但也非零。笛卡尔理论中的发散和突变消失了。在x>0区域,函数是振荡的,存在很多局部极大值和零点。这便解释了彩虹的细节,即彩虹中一定颜色的带多次出现。见下图(来自wiki):

airy的彩虹理论,是基于光的波动说的,比笛卡尔的理论定性和定量都进了一大步。不过,airy的理论还只是一个半经典理论。后来有了maxwell方程,证明光其实是电磁波后,一个自然的想法便是把彩虹的产生作为光波被一个均匀的球形介质散射的问题来研究。在这个问题上,德国人Mie在1908年有个经典论文,以致后来很多相关现象被称为mie散射。 不过,其实大牛lorentz,debey等人也有类似工作。

表面看,mie理论是基于第一性原理的,比airy的理论更完整系统精确。但其实,对足够大的水滴,airy的理论更简单直接,mie的问题是,他需要处理一个收敛很慢的求和,所以他的解精确但没用(如果不经过合适的处理的话)。

最后,估计大部分人因为生活在地面,只见过半圆的彩虹。下面展示两张更完整的彩虹照片。很明显图中有两道角半径不同的彩虹,外面那个较暗的是所谓2级彩虹,其光线在水滴里反射了两次。更高级的彩虹理论上也是存在的,不过博主没见过。




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