陈平
郝柏林之问催生经济混沌的延时微分方程模型 精选
2018-3-13 09:00
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标签:科学质疑, 复杂科学, 差分-微分方程

中国学术界喜欢和为贵,很少发生严肃认真的科学交锋,所以才存在北大兼容并包的传统,但难得西方科学批判思维(critical thinking) 和学派竞争的学风。科学史上的革命常常得益于若干不怕得罪人的科学质疑。

历史上最著名的例子是量子力学波动方程的诞生。1924年32岁巴黎大学的博士德布罗意 (de Broglie)提出电子的波粒二像性的数学公式,把粒子运动的动量(质量和速度的乘积)与相应的粒子波长相联系。1925年,时年已38岁的奥地利物理学家薛定谔,在一次演讲中大力称赞德布罗意的新思想,不料听众中有一位以苛刻批评闻名的41岁的荷兰物理学家和化学家德拜(Debye),他是量子力学先驱索末非尔德(Sommerfeld)的得意门生。德拜当场质问说,你讲波,那波动方程是什么呀?当场让薛定谔哑口无言。薛定谔回到家里左思右想,怎么自己没有想到这个问题?其实,德布罗意波就是波动方程的解。解都知道了,建立这个解能满足的方程是个不难的数学问题。不久薛定谔就发表了历史上最著名的量子力学的波动方程。据说德拜后悔不已,因为他自己只顾问得尖锐,却错过自己一生可能做出的最大发现。我猜薛定谔一定大喜过望,因为德拜是他希腊神话中的灵感之神。

大家知道,寻找动力学的基本框架是一门科学的基础。物理学从牛顿力学开始都是用连续时间的微分方程描写物理的动力学。我1985年从经验数据中发现混沌的证据以后,就试图寻找经济动力学的基本方程。令我惊讶的是,计量经济学的基本模型都是离散时间的差分方程,为了方便做数据的回归分析。如果直接依据经验观察建模,经济动力学的出发点是什么呢?   我自己在物理数学中的一个贡献,就是1987年把物理学不常用的“延时微分方程”,也称“差分-微分方程”,引入非线性动力学,用来解释1985年发现的货币混沌的产生机制,我称之为“高速公路模型”,或“软边界振子模型”。其灵感就是郝柏林的质疑逼出来的。郝柏林之问,给我指出突破的方向。

   1985年秋天普里戈金在布鲁塞尔为我组织的国际研讨会上,我报告了货币混沌发现的经验分析结果,观测到的分维在1.5左右。与会的学者大都叫好祝贺,普里戈金也没有发现什么问题。数学知名的诺奖经济学家萨缪尔逊在通讯中没有发现什么问题,只希望知道,货币指数之外,是否还有更多的经验证据才有说服力。 分享第一个诺贝尔经济学奖的荷兰计量经济学家廷伯根(Tinbergen), 是著名荷兰物理学家艾伦费斯托(Ehrenfest)的学生,后者是历史上极少几位可以和爱因斯坦对话的物理学家。廷伯根在和我的通信中坦诚自己看不懂,说普里戈金的热力学成就早已超过他的老师了。可是,过得了名师关,却难过郝柏林的质疑关。

   郝柏林听完我的报告,就当场将了我一军。他说:你的分维怎么可能是1.5呢?当时已知的数学模型,常微分方程组,如流体力学简化而来的洛伦茨模型,2维方程组只有极限环解,3维以上的常微分方程组才能产生2点几的分维。而生态学方程引入的逻辑斯蒂1维差分方程,只能产生零点几的分维。经济混沌如何能产生1点几维的分维呢?当时我承认没有想过这个问题。

会完以后,我把所有学科的数学手册和已经发表的混沌模型查了一遍,发现只有加拿大理论生物学家麦基(Mackey)和格拉斯(Glass)1977年发表的生物钟混沌震荡的延时微分方程(也称差分-微分方程),可以产生很宽范围的混沌分维,从1点几到高维都有可能。原因是延时微分方程比常微分方程组还要复杂。1维的单变量延时微分方程,可以展开为无穷维的常微分方程组。以前物理学家只知道神经元的运动是差分-微分模型,但是很难解,所以研究神经元一般只讨论线性方程,很少人研究非线性差分-微分方程。混沌研究是生理学家首先使用非线性差分微分方程,经济学我们是第二家。

我想到经济控制类似高速公路的游戏规则,例如美国高速公路有车速下限与上限的规定,最低不得低于每小时45英里,最高不得超过65英里。但是没有司机严格遵守。看见警察不在就会超速到70-80英里以上,也有落后车辆慢到45英里以下。警察来了才把速度变化的范围缩小一点,但是控制反应有一段时间延迟。我把这种非线性运动叫做软边界震荡。物理学,生物学的已知模型大都是硬边界或周期边界。

我终于在1987年完满回答普里戈金的要求和郝柏林的质疑,提出理论和观察相符的经济混沌模型,通过德克萨斯大学物理学的博士学位,得到跨学科组成的博士委员会和研究生院院长的高度评价。但是文章发表却困难重重,因为审稿的编辑看不懂我的数学模型。全世界研究非线性差分微分方程的专家,我的研究生温科红只找到一位美国数学家可以审稿。

我这才知道郝柏林之问,把我的研究“逼入”非线性动力学的边缘地带。经济学界只有一两个人可以理解为什么我们强调动力学要用连续时间,差分方程过于简单,不适合描写经济复杂性。但是除了我的学生之外,无人跟进,因为难以发表。计量经济学流行的差分方程解矩阵迭代就可以了,连微分方程都不用解。可见经济复杂性比生物复杂性在混沌数学上还要高维,而生物混沌又比生态混沌复杂的多。经济复杂性的研究,30年来进展缓慢,在学术界开放的市场很小。要求的数学知识远超目前西方主流大学经济数学的知识范围,是方法论上的主要原因。当然有效市场理论断言金融市场是布朗运动,也给经济学理论界洗了脑,值得2008金融危机之后,经济复杂性才成为西方研究的新潮。中国也在2015年在计量经济学会之下成立全国经济复杂性跨学科研究会,离达意(Day)最早发表经济混沌的理论文章1982年, 和我们发表理论和实证统一的经济混沌文章,已经过去三十多年。郝柏林用符号动力学研究混沌机制的工作发表之后,跟进的研究也不多。所以连李政道先生也说混沌不能当饭吃,但是可以当水喝,是看到混沌研究的巨大不确定性的。

有意思的是,至今物理学界对混沌研究的争议还是很大。主流的物理学、生物学和经济学,都把混沌看做是负面的“无序”现象而相当畏惧。最著名的说法是气象学家洛伦兹(E.Lorenz)宣称的所谓“蝴蝶效应”,如果真的一只蝴蝶的翅膀就能产生几千公里外的飓风,那么任何天气预报和气候控制都没有希望了。这显然言过其实。因为任何正反馈震荡会消耗越来越多的能量,一旦可用的能量消耗殆尽,负反馈就会起主导作用,使不稳定性控制在一定范围,成为“奇怪吸引子”。所以普里戈金认为“混沌产生有序”,是说非线性复杂的运动和线性运动比,是更高层次的有序。这相对所谓“沙堆模型(sandpile model)”,“生命是混沌边缘”(life as edge of chaos) 等说法,更有建设性。

郝柏林后来把研究对象转到生物信息,我转到用基于量子力学维格纳(Wigner)变换和伽柏(Gabor) 2维时空的的时间-频率分析, 直接观察宏观,金融指数的经济周期,发现持续但随时间变化的经济周期,即熊彼特预言的“生物钟”机制,否定经济周期理论和计量经济学流行的布朗运动或随机游走模型。可以说,我们都不约而同地拓展了普里戈金的方向,即用非线性动力学研究生命系统的运动机制,突破牛顿力学的机械论视角。当然,要改变科学主流的思维范式,还有很长的路要走。郝柏林走了,希望他的学生能继续前行,并和我们多交流合作,实现普里戈金对中国学生推进整体论思维的期待。


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