物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（三）

约翰·贝兹， 迈克·斯徳

2009年3月2日

2.2 范畴

范畴论在1945年前后诞生，在艾伦伯格和麦克莱恩定义了“范畴”，范畴之间的“函子”，以及函子之间的“自然变换”之后。到现在为止已经有很多关于这一主题的介绍，其中一些在网上可以免费获得。不过，我们还是从头开始：

定义1  一个范畴 C 包括：

•   一组对象，当X是C的一个对象时我们写成X∈C，以及

•   对每一对对象(X,Y)，一个从X到Y的态射集合hom(X,Y)。我们把这一集合hom(X,Y) 称为态射集。如果f∈hom(X,Y)，那么我们写成f:X→Y。

使得：

•      对于每一个对象X，存在一个恒同态射 1_X:X→X;

•   态射可以组合：给定f:X→Y以及g:Y→Z，存在组合态射

gf:X→Z;有时候也写成g ▫f。

•   恒同态射对于组合来说既是左幺元又是右幺元：如果f:X→X，那么 f1_X=f=1_Yf；并且

•   组合是结合的：(hg)f=h(gf)，只要左右两边都有明确定义。

定义2 我们说一个态射f:X→Y 是同构，如果它有逆——也就是说，存在另一个态射g:Y→X

使得 gf=1_X 且 fg=1_X。

范畴是我们能够讨论系统（对象）和过程（态射）的最简单的框架。为了使这些可视化，我们可以使用一种非常原始类型的“费曼图”。在应用到线性代数时，这些图形经常被称为“自旋网络”，不过范畴学家们把它们称作“弦图”，我们也将沿用这一术语。这里的“弦”跟弦论没什么关系：相反，其含义是我们的范畴中的对象标记着“弦”或者“线”：

而态射f:X→Y标记带有一条X型输入线和一条Y型输出线的“黑盒子”：

通过连接一个黑盒子的输出端与下一个黑盒子的输入端，我们可以组合两个态射。因此，f:X→Y与g:Y→Z的组合就像这样：

而组合的结合性则隐含在下图中：

它既表示h(gf)，也表示h(gf) 。类似地，如果我们把恒同态射 1_X:X→X画成一段X型的线：

那么左右幺元律也隐含在其中了。

存在数不胜数的范畴的例子，不过我们将聚焦在四种上：

•     Set：对象为集合的范畴。

•   Hilb：对象为有限维希尔伯特空间的范畴。

•     nCob：态射为n-维协边的范畴。

 •   Tang_k：态射为余k-维缠结的范畴。

我们将看到，所有四种都是闭对称幺半范畴，至少当k足够大的时候。不过，最为大伙熟知的那一种，也就是Set，是格格不入的：它是“笛卡尔的”。

传统上，数学是在范畴Set的基础上建立起来的， Set中的对象是集合，而态射是函数。因此，当你研究物理中的系统和过程时，会不由自主地通过给出态集合来说明一个系统，并通过给出从一个系统的态到另一个系统的态的函数来说明一个过程。

然而，在量子物理中我们所做的有一些微妙的不同：我们使用这样的范畴，其中对象是希尔伯特空间，而态射是有界线性算符。我们通过给出一个希尔伯特空间来说明一个系统，而这一希尔伯特空间并不就是系统的态集合：一个态事实上是希尔伯特空间中的一条射线。类似地，有界线性算符也不恰好是一个系统的态到另一个系统的态的函数。

在量子物理的日常实践中，真正要紧的不是态集合和它们之间的函数，而是希尔伯特空间和算符。范畴论的优点之一就是，它将我们从传统数学的“集合中心”视角中解放出来，使我们从其自身的主张上去看待量子物理。我们将会看到，这为我们长久以来在理解量子王国时饱受折磨的那些困境带来了新的曙光 (Baez, 2004)。

为了避免技术细节让我们离题万里，我们将Hilb选为这样的范畴，其中对象是有限维希尔伯特空间，而态射是线性算符（在这一情形下自动有界）。有限维希尔伯特空间对于某些目标来说足够了；无限维的通常很重要，但正确处理它们需要对我们这里想要解释的想法做一些显著的扩展。

在物理中我们还用到这样一些范畴，其中对象代表着空间 的选择，而态射代表着时空 的选择。最简单的就是 nCob，其中对象是(n-1)-维流形，而态射是n-维协边。敷衍掉一些在仔细处理时会讨论的微妙之处，一个协边f:X→Y是一个n-维流形，其边界是(n-1)-维流形X和Y的不交并。下面是n=2的情况下的两个协边：

我们将一个的“输出端”与另一个的“输入端”粘合，可以把它们组合起来。于是，在上面的例子中gf:X→Z 看起来像这样：

在物理中还有另一类重要的范畴，其对象代表着一些粒子，而态射代表着它们的世界线和相互作用。费曼图就是最经典的例子，但在这些图形中“边”并没有被丝毫不差地当成是粒子的轨迹。跟拓扑有着更紧密关系的一个例子是 Tang_k。

非常粗糙地说，Tang_k的对象是k-维立方体中的一些点，而态射是一个“缠结”：光滑嵌入(k+1)-维立方体中的一些弧和圆，使得圆处在立方体的内部，而弧仅仅在立方体的底端和顶端接触其边界，并且仅仅在它们的端点处。更准确一点来说，缠结是这类嵌入弧和圆的“同痕类”：这一等价关系意味着只有缠结的拓扑是要紧的，而非其几何。我们将一个立方体叠在另一个立方体上来组合缠结。

更精确的定义可以在许多原始资料中找到，至少对于k=2，亦即3-维立方体中的缠结来说。不过有句话说一幅图胜过一千句话，下面是Tang₂中态射的图示：

注意我们可以把Tang_k的态射看成嵌入在k-维立方体（译注：这里应该是(k+1)-维立方体）中的1-维协边。这就是为什么Tang_k和nCob 在某些方面表现相似的原因。

下图是Tang₁中两个可以组合的态射：

组合之后则变成这样：

因为只有缠结的拓扑是相关的，我们可以任意地把这个矩形压成正方形，但我们并不需要这么做。

考虑以各种方式点缀的缠结往往是很有用的。例如，在一个“定向”缠结中，每一段弧和每一个圆都配备了一个方向。我们可以在缠结的每一条曲线上画一个小箭头来表明这一点。在物理应用中，这些曲线代表着粒子的世界线，而箭头表明每一个粒子是顺着还是逆着时间运动，并遵循费曼所谓反粒子是逆着时间运动的粒子的观点。我们还可以考虑“标架”缠结。在这里每一条曲线被一条“带子”所替换。在物理应用中，这记录了每一个粒子是如何扭转的。这对于费米而言尤其重要，因为2π扭转作用在它们上是不平庸的。数学上来说，表现最好的缠结既是标架的又是定向的，而我们也将用这类缠结来定义Tang_k。范畴nCob也有一个标架定向版本。不过，这些细节在我们后面的讨论中无关紧要。

要想真正用范畴来做些什么，就必须讨论它们之间的映射。范畴之间的映射被称为“函子”：

定义3 从范畴C到范畴D的一个函子 F:C→D是这样一个映射，它映射：

 •   任意对象X∈C到一个对象F(X)∈D，

•   任意C中的态射f:X→Y 到D中的一个态射 F(f):F(X)→F(Y)，

并使得：

 •   F保持恒同态射：对任何对象X∈C，F(1_X)=1_F(X);

•     F保持组合：对C中的任何态射对 f:X→Y,g:Y→Z，F(gf)=F(g)F(f)。

在后面的章节中，我们会看到函子和自然变换有利于在范畴中放入额外结构。对函子的一个截然不同的用法是：我们可以把函子F:C→D视为给出了C在D中的一个图像，或者“表示”。其想法是，F可以把某些“抽象”的范畴C中的对象和态射映射到一个更“具体”的范畴D中的对象和态射。

例如，考虑一个抽象群G。这等同于只有一个对象，并且所有态射都可逆的一个范畴。这一对象是乏味的，所以我们把它记为 • 好了，而态射就是G中的元素，并且可以通过相乘来组合它们。从这一观点来看，G在有限维希尔伯特空间上的一个表示等同于一个函子F:G→Hilb。类似地，G在一个集合上的作用等同于一个函子：F:G→Set。两种观念都使得一个抽象群更加具体。

自从劳维尔1963年关于函子语义的学位论文出现以后，将函子视为表示的想法已经变得无处不在了。不过，这一术语随着领域的不同而有所变化。追随劳维尔，逻辑学家把范畴C称为“理论”，而把函子F:C→D称为该理论的一个“模型”。其他的数学家可能把F称为该理论的一个“代数”。在这些工作中，D的默认选择通常是范畴Set。

在物理中，函子F:C→D才被称为“理论”。这里D的默认选择要么是我们称作Hilb的范畴，要么是无穷维希尔伯特空间组成的一种类似范畴。例如，“共形场论”和拓扑量子场论均可视为这类函子。

如果我们把函子看成是模型，那么自然变换就是模型之间的映射：

定义4 给定两个函子 F,F´:C→D，一个自然变换α：F⇒ F´为C中的每一个对象X指定一个态射α_X:F(X)→F´(X)，使得对于任何C中的态射f:X→Y，方程α_Y F(f)= F´(f)α_X在D中成立。换句话说，下面这个方形对易：

（先往右再往下等于先往下再往右。）

定义5  函子 F,F´:C→D之间的一个自然同构是一个自然变换α：F⇒ F´，并且对于每一个X∈C,α_X是一个同构。

例如，假定F,F´:G→Hilb均为函子，而G是一个群，且被视为只有一个对象•的范畴。那么，根据之前提到的，F和F´其实隐含地是G在希尔伯特空间F(•)和F´(•)上的表示。那么一个自然变换α：F⇒ F´等同于从一个表示到另一个表示的一个交织算符：也就是，一个线性算符：

A: F(•)→F´(•)

且对所有群元素g满足

AF(g)= F´(g)A

Bibliography

Baez, J. (2004). Quantum quandaries: A   category-theoretic perspective, arXiv:quant-ph/0404040. In S. French, D.   Rickles, & J. Saatsi, Structural Foundations of Quantum Gravity.   Oxford: Oxford University Press.