圆桌会谈：对话爱德华•威滕（八）

爱德华·威滕 普林斯顿高等研究院自然科学学院教授

大栗博司 卡弗里数物连携宇宙研究所首席研究员

户田行信 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

山崎雅人 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

如何与数学家合作

户田：我有一些一般性的问题。数学家应该着手那类难题？

威滕：嗯，代数几何学家研究的好些问题都牵涉到物理学家研究的对偶。其中大多数情况下，我没法给出太多建议，因为就近期进展来说我并非一个专家。在有些情形，我仍在竭力理解物理学家相当长时间以前做过的一些紧密相关的事情。举例来说，格帕库玛-瓦法和大栗-瓦法公式对代数几何学家来说影响深远，但作为一个物理学家，我一直不满意自己对它们的理解。所以事实上我去年花了大量时间，跟一个学生（米科拉·德杜申科）一起，试图更好地理解这些公式。在这一工作中，我做了一些作业，而要想回答你的问题，那些是我必须弄懂的。

我们差不多完成关于格帕库玛-瓦法和大栗-瓦法公式的文章了，对此我很开心。

大栗：你下周会在卡弗里数物连携宇宙研究所就此做演讲（这篇文章后来发表在http://arxiv.org/abs/1411.7108）。

威滕：回到行信的问题，尽管有很多当前热门的领域我可能给不出有用的建议，但有一点建议我确实可以提供给代数几何学家。我强力推荐超黎曼面。我很确定那儿存在着一个深刻的理论。至于它会多快涌现出来，我什么也担保不了。只有足够多的人为其激动不已，一个深刻的理论才有可能在近期被发展起来。或许我们明春在西蒙斯中心的研讨会将促使这一情形的出现，但我承诺不了什么。

大栗：确实，当人们25-30年前在微扰弦论中处理宇宙学常数有限和为零的问题时，结论并不让人满意。只有在你用超黎曼面的几何来进行合理描述后，才给出了完整的理解。

威滕：多谢，博司，我很高兴你能这样想。并不是所有物理学家都认同，因为可以将超黎曼面完全隐去，而把一切都用图像改变算符来表达并进行下去。我个人觉得当你这么做的时候，你没法合理解释那些公式的含义。但不是所有人都认同。

我认为超黎曼面理论在1980年代停止发展的原因之一是物理学家们逐渐满足于他们的部分理解，其中超黎曼面被隐藏起来了。当你试图那样去理解事情的时候，我觉得这一主题的极大美感就因此而错失了。我对它相当关注，至今为止花了好几年时间来阐明超黎曼面描述的一些细节。

不清楚会不会有很多物理学家对我试图填补的这类细节真正感兴趣。所以我还有一个希望就是数学家们会为发展超黎曼面理论兴奋起来。我无法做出承诺，但我想他们应该去做。

大栗：你是否也期待新的物理见解会从对微扰弦论的更精确解读中出现？

威滕：答案取决于你所说的物理见解的含义是什么。我想你会更好地理解超弦微扰论意味着什么，如果你把它表述成超黎曼面的模空间上的积分。这也是一种见解。不过，此刻我看不出任何迹象说，以我们理解微扰论的方式引入超黎曼面会有助于我们解决好比说非微扰问题，或是更好地理解弦论的对称性结构或者任何可能的恰当概念。

山崎：我想问最后一个问题。你的一部分研究涉及数学物理这一领域。你同数学家有过大量讨论，也写数学文章。

威滕：嗯，在非常特殊的情况下，当我觉得我实际上能做的一些事情具有启发性的时候，我才写数学文章。近期的例子是我和荣恩·多纳吉关于超黎曼面模空间的一些基本问题的工作，以及我和拉斐·马泽奥关于纳姆极点边界条件的工作，我之前提到过。

山崎：我明白了。那么，我的问题是——如果一个物理学家想要跟数学家有效合作，有什么好的建议吗？

威滕：很难给出什么建议。通常得出严格证明需要非常具体的方法。这对于物理学家来说很难，所以我自己仅仅在非常特殊的情况下才去做，当我认为某些东西确实缺失了，并且确实足够简单，如果我有合适的合作者的话能够帮助去做。有些物理学家会想要深入到更多细节中去，并且学会在一个特定领域中做出严格证明的技术，但我想大多数物理学家会乐于只在一些非常特殊的情况下成功地给出证明，就如我所选择的一样。

山崎：我知道了。这是不是真的，就是在你的很多工作中，跟一些数学家的谈话都激发了你？

威滕：这通常发生在这样的情形，当数学家所做的一些工作牵涉到物理的某一方面，而这方面内容还未被很好理解，并且对于我来说还说不通的时候。我之前提到过关于体积猜想的问题。多年以来我一直无法理解这一领域的结果，因为复的临界点会做出指数级增长的贡献。我一直把它放在一边，没法做出进展。

后来，2009年夏天，我参加了波恩的豪斯多夫研究所在陈-西蒙斯理论提出20周年时举办的一个会议。在会上我听到了关于体积猜想的更多讲座。对于我来说，不能理解为何指数级大小的贡献会出现真的有些尴尬。事后想来，我觉得对这一问题烦恼这么久是值得的，因为答案最终是相当有用的。

山崎：原来如此。在那个例子中，感觉那些棋子没有放在合适的位置诱导出你的问题，而你最终解决了这一问题，并且这导致了新的发展。

威滕：是的。另一个例子是当我感觉贝林森和德林菲尔德把将棋棋子在棋盘上乱摆一气的时候。