圆桌会谈：对话爱德华•威滕（五）
爱德华·威滕 普林斯顿高等研究院自然科学学院教授
大栗博司 卡弗里数物连携宇宙研究所首席研究员
户田行信 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授
山崎雅人 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授
量子纠缠
大栗：我们仍然在讨论90年代发生的事情。现在，我们该把话题转到新千年期了。你觉得过去14年里有哪些亮点？
威滕：部分答案是马尔达西那引入的规范-引力对偶是非常深奥的。哪怕是现在人们仍然在发现它有趣的新面孔。一个重要的例子就是笠真生和高柳匡关于规范/引力对偶中的纠缠熵的工作。他们发现了黑洞的贝肯斯坦-霍金熵的一个真正有趣的推广。尽管我本人还没有研究过这一主题，这些发展是相当有趣的，并且可能包含了有关量子引力的深层线索。如果我能看出做这个的正确方式，那么我自己很可能也钻到这个领域中去，但至少目前我还没有。不过这是我建议密切关注的方向之一。
除了笠和高柳，我还强烈推荐奥拉西奥·卡西尼的文章，其中有时候是跟玛丽娜·韦尔塔合著的。这些文章之一处理的是如下问题。假定有一个物体掉入一个黑洞，它的熵也随之消失在洞中。黑洞在吸收物体的时候会获得质量，所以它的熵也会升高。热力学第二定律表示总熵在这一过程中应该是增加的，因此换句话来说黑洞至少增加了下落物体在靠近黑洞之前所拥有的熵。这基本上告诉你说，如果一个物体具有给定能量，并且小到足够被纳入到一个给定质量的黑洞中，那么它的熵一定有一个上界。贝肯斯坦提议了这样一个上界，因而人么把它称作贝肯斯坦上界，但很久以来没有人能准确地表述出这一上界究竟说明了什么。
这里我又回想起深谷所说的物理学与数学之间的关联，其中他评论说很难把物理学家所做的一些论断中的术语准确表述出来。说到贝肯斯坦上限，其详情如下。在各种概念（下落物体的大小，能量以及熵）都有确切含义的情形下，贝肯斯坦上界明显是对的，没什么意思。比如，考虑在许多粒子组成的一团气体，让它们在一个箱子里弹来弹去。这里系统的大小以及它的能量和熵全都有明确的含义。贝肯斯坦上界是对的但是没什么意思，因为距离上界还有很大的余裕。你会问，能不能找到一种情形，贝肯斯坦上界是接近被饱和的？你可以实现这一点，如果在箱子中的不是一团粒子气，而是一个单一的粒子。更准确地说，这很接近于饱和贝肯斯坦上界，如果我们可以忽略箱子的质量，但这是一个不切实际的假定。为了接近于饱和贝肯斯坦上界，我们真正需要考虑的是在某一给定时刻几乎确切地处于某个确定的时空区域的一个单一粒子，哪怕并没有箱子将它保持在那儿。（我说“几乎确定”是因为相对论量子力学不允许我说一个粒子确定处在某个给定区域。）这里对于一个单一粒子来说，我们可以定义它的能量，而且我们可以确定（在相对论量子力学的广泛限制下）它被禁闭的区域，但很难说清楚一个单一粒子的熵。很久以来，有很多的文章讨论这一点，数十甚至数百篇，但绝大多数没什么见解。然后，奥拉西奥·卡西尼写了一篇简单但是相当精彩的文章，他说明正确的概念是纠缠熵，它总是能以一种自然的方式定义，并且确实进入到一个普适的类-贝肯斯坦上限中。这篇文章完全超前于这一领域的普遍思维方式，以致于过了好几年，我想，人们才广泛地接纳它。
大栗：比如，卡西尼的文章解决了我为之困惑了一段时间的种属疑难，并且给出了一个令人信服的解释来说明这并不成问题。
威滕：存在贝肯斯坦上界的所谓反例，所以人们，包括我，认为如果这一上界是对的，它也只是针对能够耦合到引力的量子场论的一个论断，而并非所有量子场论。但卡西尼表明这彻头彻尾地错了。他为进入到贝肯斯坦上界中的所有项都赋予了精确的含义，并且说明这是从一般性原理导出的关于量子场论的普适断言。这真的让人茅塞顿开，而且就跟关于纠缠的其他工作一样，你会猜测这很可能是一条重要的线索，但也许需要一个比我更年轻，具有全新思维模式的人来看出这条重要线索指向何处。
我还想提一下这个方向的另一个贡献，是卡西尼、马尔达西那与拉斐尔·布索、扎卡里·费舍尔（依四人姓氏首字母简称BCFM）完成的。许多年前，布索制定了贝肯斯坦上界的一个协变版本；它很适合于宇宙学中的问题。所有我所说的关于贝肯斯坦上界的内容都有关于布索上界的类比。当你理解了它的含义时，它不那么有趣，而当它有趣时，你又不理解它的含义。BCFM近期的工作给出了布索上界的一个精确表述以及证明，至少对于平坦时空中的量子场论而言。
大栗：我发现量子引力与量子信息理论的这一全新的互动格外地激动人心。很明显纠缠一定蕴含了时空从中呈展出来的一些信息。
威滕：我希望如此。我担心这个问题可能难以着手，所以其实我研究了几类更熟悉的问题。在过去十年或者到现在为止可能比十年更久一点，我花了大量时间去研究一系列可能比我之前的大多数工作更偏离主流一点的问题。此外，我研究这些问题的时间也比以往任何问题更长。我想有三个问题最符合我刚才所说的，那就是规范理论与几何朗兰兹纲领，规范理论与霍万诺夫同调，以及超弦微扰论。
超弦微扰论最好以超黎曼面来理解，而这是一个令人着迷的数学主题，我希望数学家们会感兴趣。超黎曼面是通常的黎曼面的一种推广，加入了奇的或者说反对易的变量。关于它人们在1980年代部分地发展了一个令人神往的代数几何理论，可后来抛弃了。如果它能重生的话那可太好了。对了，我们五月份在石溪分校的西蒙斯几何与物理中心将有一个这方面的研讨会，代数几何学家们或许会感兴趣。
大栗：你认为从这些费米型的维度中会出现一个全新的数学分支吗？
威滕：我确信超黎曼面的代数几何会令人振奋，但不幸的是，1980年代获得的许多结果只以未发表的笔记和信件的形式存在。我希望我们的研讨会将有助于改变这一状况。
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