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圆桌会谈：对话爱德华•威滕（三）
爱德华·威滕 普林斯顿高等研究院自然科学学院教授
大栗博司 卡弗里数物连携宇宙研究所首席研究员
户田行信 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授
山崎雅人 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授
弦对偶革命
威滕：到了1994年年末，我们已经有了两维和四维中非微扰对偶的经验。例如，在两维的情形，如果你研究具有卡拉比-丘靶空间（比如在弦论紧化研究中很重要的那些）的西格玛模型，你会发现其量子理论远远超出了卡拉比-丘流形的经典几何。你会得出西格玛模型的各种不同的几何和非几何描述之间的一张相变网络，而这些不同的描述代表着理论不同的准经典极限。蒙托宁-奥利弗猜想经过后续研究者的完善之后则说明类似的事情在四维N=4超对称杨-米尔斯理论中也发生了，而塞伯格和我1994年进一步在N=2的情形下发现了某种类似的现象。
当然人们都梦想弦论中也会发生类似的事情。事实上不只是梦想，人们还写了大量文章给出了这一故事的一些片段。又一篇重要的文章是克里斯·赫尔和保罗·汤森在1995年春天完成的。他们试图说明ⅡA型超弦理论与一个圆上的M-理论是相同的。他们没有切实做到的唯一一件事情是努力把它更定量化。这里存在一个潜在的矛盾，即在ⅡA超弦理论中你并没有看到11个维度。但我不久就意识到，事实上这一问题有一个非常简单的答案。从ⅡA超弦理论的角度来看，11维极限是一个强耦合的区域，所以第11维在弱耦合下是不可见的。
很快情况变得明朗了，同样的事情在其它情形下也是成立的。比
如你可能会希望Ⅰ型超弦理论和SO(32)杂化弦是一样的。这里立刻有一个明显的矛盾：两个理论拥有完全相同的零质量谱和低能相互作用，但超出低能极限后他们看上去完全不同。答案很简单，如果你将低能场论配对的话，你会发现一个理论中的弱耦合正好是另一个理论中的强耦合。
一旦你沿着这些线索开始思考，结果会发现所有的一切都运作了。其意义何在呢？这种思考方式必然导致关于弦理论是什么的一幅更加统一的图像。但很快，进一步的发展表明这些传统的提问方式可能是不够的。在1980年代期间，我深信在某种意义上弦论应该基于某种拉格朗日量，它推广了引力的爱因斯坦-希尔伯特形式的拉格朗日量；弦论也应该具有某种对称群，它推广了微分同胚群。因此应该存在一种新的经典几何理论——非微扰的两维对偶性作为经典对称性嵌在其中。接着你可以通过量子化这一经典理论来生成弦理论。
但到了1990年代早期，出现了一个我本人没有太关注的烦人的细节。在卡拉比-丘流形的模空间中，存在各种奇点。涉及到这类奇点的一些问题在我自己的工作中也很重要。
大栗：你说的是牵涉到线性西格玛模型的工作。
威滕：对，以及我（跟哈维，瓦法以及兰斯·迪克逊）关于轨形的工作。我曾对经典几何包含奇点而量子西格玛模型不包含的情形感兴趣；这些情形展示了常规几何与它在弦论经典极限中的推广之间的差异。我没有认真对待的问题是，在一般情况下，当你变形一个卡拉比-丘流形的模参数时，你会发现经典几何的奇点同样也导致对应的西格玛模型的奇点。
这种奇点甚至在弦论的经典极限也会出现，所以当你试图将弦论解释为先有一个经典理论，然后再量子化，看起来经典理论会有奇点存在，这很奇怪。我个人没有太多关注这一问题，但斯特劳明格解释说这种奇点实际上反映了一种非微扰的量子效应。当一个带电黑洞变得无质量时这种奇点就会出现，并且它表明量子化一个经典理论不能恰当地刻画弦论：即便在你想要视为经典极限的地方也会存在非微扰的量子效应。
大栗：就是说类似的结果在场论中并不出现，这是一种本征的弦论现象。
威滕：我认为是这样。
大栗：那么，你是否认为这是弦论不存在拉格朗日描述的一种证据呢？
威滕：它表明通过量子化一种经典理论不能完整地刻画弦理论。我不是说不存在一种经典理论，因为我相信从某种观点来说是存在的。
大栗：是的，作为一种近似描述，但你刚才说不能从经典理论出发再应用量子化程序……
威滕：我们不能通过量子化一个内在的经典理论来彻底理解弦理论。在某种意义上来说它本质上就是一种量子力学理论。
我不是说你不能靠量子化一个经典理论来导出弦论，但我认为你无法以这种方式完整地刻画它。
可是别忘了哪怕在场论中，蒙托宁-奥利弗对偶也意味着同一个理论可以有不同的经典极限，表明没有哪一个经典极限是真正与众不同的。
大栗：但是在那里的情形，你是拥有拉格朗日描述的。
威滕：是的，在蒙托宁-奥利弗的情形，你拥有一个经典的朗格朗日量，事实上是许多个。弦理论要糟糕一点的原因是，哪怕在你想要称为经典极限的地方，也存在不能从经典观点真正讲得通的现象。
最终，斯特劳明格的工作阐明了我错过的一些事情。在1995年弦论大会我所做的关于弦论中非微扰对偶的报告以及相应的文章（“各种维度中弦论的动力学”）中，有一个细节并不是完全合理。K3流形上的ⅡA型超弦理论被认为是对偶于四维环面上的杂化弦的，而在此框架下，我可以看出当K3面生出一个ADE类型奇点时会导致规范对称性的提升。可是经典几何中的ADE型奇点不过是一个轨形奇点而已，因此微扰论在处于轨形上的弦论中仍然成立。轨形并不会生成一种非微扰的规范对称性。在好几个月里，我都困惑不已。事实上，我犯了一个简单的错误，保罗·阿斯平沃尔在1995年夏天写的一篇文章中纠正了它。阿斯平沃尔做了如下解释：在M-理论的ADE型奇点处，你仅有超凯勒模，而在弦论中的ADE奇点处，还存在B-场模。当B-场模为零时，共形场论会变得奇异；轨形则描述了B-场模不为零时的非奇异情形。
当B-场模消失时，与斯特劳明格在他的文章中就卡拉比-丘奇点所展示的一样，经典描述会失效。它导致了规范对称性的提升，而从ⅡA 型超弦理论的立场来看，这一提升具有非微扰的起源。
斯特劳明格考虑的是一个缠绕的3-膜产生的带电黑洞，而这里相关的粒子是一个缠绕的2-膜。不过想法是类似的。
大栗：所以这就是规范理论思想与弦论思想互动的开端，其中规范理论非阿贝尔、非微扰的动力学可以从弦论的极限中呈现出来。
威滕：对。另一篇重要但极其简单的文章是迈克尔·格林在1996年写的，也有助于说明弦论对规范理论中的非微扰对偶的启示。到了那个时候，乔·波尔钦斯基和他的合作者已经大体上阐明，用现代的语言来说，n张平行膜组成的系统具有U(n)规范对称性。我在1995年年底写过一篇文章来说明为什么这很有用，但格林写了一篇非常简单的文章给出了以下观察结果。ⅡB型超弦理论具有非微扰的对偶性——到那个时候我们对这一结果已经信服——而另一方面，具有U(n)规范群的N=4超对称规范理论可以从ⅡB型超弦理论中n张平行D3-膜的系统中产生出来。将这两个事实结合起来，再取低能极限，格林就能导出规范群为U(n)的N=4超对称杨-米尔斯理论的蒙托宁-奥利弗对偶。它不过是从具体到D3-膜的ⅡB型超弦理论所承继来的罢了。
这是从弦论对偶导出规范理论对偶的一个重要的早期事例。
甚至在所有这些结果之前，迈克·达夫和拉姆齐·库里在1993年就写过一篇文章讨论了他们所谓的弦/弦对偶。他们说应该存在一个六维的自对偶弦论，以两种不同的方式去看它会给出四维规范理论的电-磁对偶。这其实是一个绝妙的思想。唯一的麻烦是他们没有给出它可行的一个例子。
在1995年年中我意识到，如果你考虑在K3与T4上的杂化/Ⅱ型弦对偶，并进一步紧化在另一个二维环面上，你会得出与达夫和库里的提议非常相似的一个例子。他们着眼于一个弦理论的自对偶，而我考虑的例子则是两个不同的弦理论之间的对偶。但想法仍然是一样的。到了1995年年底，达夫、我以及其他一些作者找出了跟两年前的提议更加吻合的一个例子。这涉及到K3面上的E8×E8杂化弦，并且两个E8因子中的瞬子数是相同的。在所有这些情形中，你都可以从一种弦对偶导出蒙托宁-奥利弗对偶。
在我们聊的过程中，我又记起了1995-1996年间更多的文章，它们在当时非常引人注目，但说实话，大多数都很容易就能做出来。中岛启昨天在京都奖研讨会上的讲座让我回想起了这些。启开头善意地回忆了我1996年在牛顿研究所给出的三个讲座。这些讲座涉及我写的三篇文章（合著者分别是列弗·罗赞斯基，阿米·哈那尼，以及内森·塞伯格）。这些文章紧密相关。它们写起来很有意思，讲座也很有意思。但我清晰记得的是，在那个时候像这样的见解已经差不多都浮出水面了。那时候在这个领域中探索真是其乐无穷。我现在希望在我学术生涯的活跃期，还会有一个那样的阶段。
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