圆桌会谈：对话爱德华•威滕 （二）
爱德华·威滕 普林斯顿高等研究院自然科学学院教授
大栗博司 卡弗里数物连携宇宙研究所首席研究员
户田行信 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授
山崎雅人 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授
我曾是对偶性的怀疑论者
大栗：我应该介绍一下我们今天参与讨论的人。户田行信是一名数学家，在卡弗里数物连携宇宙研究所任副教授，他在2006年获得理学博士学位。山崎雅人是一名物理学家，卡弗里数物连携宇宙研究所的新进助理教授，他2006年上的研究生。他们代表着在弦论和规范理论这些交叉领域从事研究的年轻一代数学家和物理学家。
前两天，在京都奖内容之一的纪念演讲中，你回顾了自己在这一领域的学术生涯。你说到你是在1973年进入研究生院的，而那时渐近自由刚在理论上被发现。你1994年第二次来到日本并做了我们刚才聊到的访谈，那已经是差不多20年之后了。而现在又是20年过去了，所以我想我们首先应该努力赶上你职业生涯的第二个20年，看看你对一些最重要的进展的观点是什么，然后从那出发加以讨论。
我们已经开始讨论到1994年的那次访谈之后的一些发展，不过也许你可以扩展一点，告诉我们你认为过去20年里这一领域的亮点是什么。
威滕：当然可以，亮点之一是对弦论中非微扰对偶的理解，由此导致了关于弦论是什么的一幅广阔得多的图像。在1994年，我们知晓了镜像对称以及弦微扰论中出现的其他两维对偶，而我们事实上才刚刚开始想到在时空中可能存在类似的对偶：跟两维对偶类似的四维规范理论对偶。可是在1994年，某种类似的情况可能发生在弦理论上还仅仅只是一个猜想。
那个时候在文献中已经出现了一些线索，并且好几条新线索是在1990年代早期发现的。其中对我影响最深的是约翰·施瓦茨和阿修科·申恩的工作，他们说明六维环面上杂化弦的低能有效作用量所具有的性质与一种非微扰SL(2,Z)对偶的存在是相容的。他们没有给出我视为对该猜想的决定性的证据，但他们的想法非常具有启发性。
如何才能找出时空中非微扰对偶的决定性证据，我也仍不清楚。至少对于我来说，第一个这样的证据出现在阿修科·申恩关于N=4超对称杨-米尔斯理论中一个双磁单极束缚态的一篇短而精妙的文章中。在我看来，那是支持蒙托宁-奥利弗对偶猜想的根本性的新证据。它让我确信这一对偶必然是对的，而同样重要的是，它也让我相信可以更好地去理解它。
大栗：我想申恩的文章为S-对偶给出了一条很强的证据，但你和瓦法的文章才让我们信服。
威滕：多谢。申恩的文章表明你其实可以远远超出已知关于电-磁对偶的启发性的但又有些局限的论据，而学到一些根本上的新东西。在申恩的文章之前，我总感觉我们对电-磁对偶的理解，哪怕是确实影响过我的申恩和施瓦茨的工作，仍然局限在蒙托宁和奥利弗20年前就已经知晓的框架之内。但申恩做了一个简练的计算，找出了对偶预言存在的两个磁单极的一个束缚态。这鼓舞了我，让我相信可以走得更远。
在此激励之下，卡朗·瓦法和我试图找出对偶猜想的更多证据，便开始研究瞬子模空间的欧拉示性数。不难看出超对称杨-米尔斯理论的电-磁对偶意味着这些欧拉示性数的生成函数是一个模函数。对我们来说幸运的是，在许多情形下——包括你之前提到的中岛的工作——数学家们已经计算出这些欧拉示性数，或是得出紧密相关的结果，使得欧拉示性数能被理解。我们发现预期的模性在所有情况下都成立。（在一种情形——四维流形为CP2——我们遇到了一种“拟模形式”，一个当时对我们来说还很新的概念，但它后来在规范理论和弦理论中频繁地出现过。）
也就在这一时期，内森·塞伯格已经以全纯性作为工具来分析超对称规范理论的动力学。他想要理解N=2超对称理论中的行为。我们开始讨论它，而申恩的文章启发我们去思考对偶性可能会发挥作用。这实际上是导致我们被称为塞伯格-威滕理论的工作的诸多线索之一。
大栗：这对于像山崎雅人和户田行信这样的年轻人可能有点难以置信，而在1994年以前，至少对于我来说，S-对偶简直不可思议。它就好像一个美妙的梦。有这样的梦当然不错，但你不能希望那种东西会有可能真实发生。正如我说过的，申恩的文章是最初的线索，而在某种程度上爱德华和瓦法的文章才最终敲定了它。在那之后，所有人都信服了。
山崎：这有点出人意料，因为我想克劳斯·蒙托宁和戴维·奥利弗的文章已经相当久远了。人们对这一想法存有怀疑吗？
威滕：如果我告诉你我与蒙托宁和奥利弗文章的早期故事，你可能会发笑。首先，直到我在1977年年底访问访问牛津大学的时候我才听说起它。迈克尔·阿蒂亚向我展示了这篇文章，并且说我应该到伦敦去和奥利弗讨论它。于是，我读了文章，跟戴维·奥利弗取得联系，并约好去访问他。但在我抵达伦敦之前，我是相当怀疑的。你读过他们的原始文章没有？
山崎：是的，读过。
威滕：在他们的原始文章中，他们考虑了一个规范场和一个实标量场（在伴随表示中取值）的一种玻色理论。他们假定标量场的势能恒为零，进而得出恰好在这一情形下有效的粒子质量的卓越公式。他们电-磁对偶的提议就是基于他们的质量公式在电荷与磁荷之间是对称的这一事实。
可是，我熟知量子场论，明白标量场势能为零这一说法在量子力学层面上是没有意义的。如果它有意义，那么我们也不会有粒子物理学中的规范层级问题了。所以，在我到伦敦去见奥利弗之前，我确实是存疑的。但既然我到那儿去见他了，我不想直说他的想法一无是处。我们尝试去把它弄明白。于是我们在超对称的框架下去讨论，就因为在具有超对称时，标量的质量重整化（甚至完整的有效势）可以是零。在我看来这是蒙托宁和奥利弗的杰出想法可能有意义的唯一情况。到了那天晚上，我们发现他们的公式在N=2超对称的框架下是成立的。于是我们就此写了一篇文章，而且写那篇文章很让人志得意满，不过我从那篇文章中得出了错误的结论。我得出的结论是，无需假定非微扰对偶，我们就已经解释了他们的公式。
大栗：是的。这也正是我在读了你和奥利弗的文章之后所获得的信息。看上去奇迹般的现象仅靠超对称就得到了解释。
威滕：所以在那个时候，以及在之后很多年，我一直觉得其实没有太多四维非微扰对偶的证据。
因此，回到雅人的问题，我在那些年里是电-磁对偶的怀疑论者，不过事实上我是在两个层次上存有疑问。首先，我怀疑它是否是对的，而其次，我也怀疑哪怕它是对的，你也不能真正从中得出什么。
从更完整的视角来看，在1990年代早期，已经存在多种多样的新线索，一些来自像迈克·达夫，以及科特·卡伦、杰夫·哈维与安迪·斯特罗明格等人对弦论中孤子的研究工作，然后又有我已经提过的申恩和瓦法的工作。我记得，在伯克利举办的 弦1993 会议上，约翰·施瓦茨异常兴奋，自从1984年1月以来我还从没见他那么兴奋过。1984年1月的时候，他告诉了我他和迈克尔·格林最近的工作并说“我们很接近了”，但我并不明白他觉得接近的是什么。可结果是只过了几个月他们就实现了反常的抵消。所以看到约翰在伯克利的弦论会议上如此激动，我觉得我最好认真对待他的工作。
如果你跟我一样从蒙托宁和奥利弗的文章起就持有怀疑态度，并以这种态度来看待的话，你可能会说申恩和施瓦茨不过是在讨论低能物理，并没有关于强耦合行为的坚实证据。但约翰的热情在我的疑惑中激起了浪花，于是我开始更仔细地读达夫和其他作者关于弦论中孤子的那些文章。有一次，我记得是在1993年秋天，达夫寄给我各种他的文章，对这些我十分上心。现在我已经记不起在那一阶段读过的关于弦论中孤子的所有文章了，但可以肯定卡伦、哈维与斯特罗明格合写的一篇很重要。
这一期间还有另一方面的背景我需要解释一下。
迈克·达夫，保罗·汤森以及其他物理学家曾经在1980年代中期花了几年时间研究超膜，并表示应该存在一个基本膜的理论，类似于基本弦的理论。由于多种原因这一提议并不十分令人信服。首先三维流形并没有一个欧拉示性数，所以不像弦论一样存在一个拓扑展开。此外，三维中不存在共形不变性来帮助我们合理化膜理论；膜理论就跟广义相对论一样是不可重整的。
还存在多种多样的技术异议，但到了1990年或1991年的某个时候，取代将膜视为基本物体的尝试，在这一领域钻研的人们开始将膜以及其它p-膜视为弦论中可能存在的非微扰物体。笼统地说，这一想法的确是行得通的。但仔细看来，情况要复杂得多。如果你切实地读那些文章，你会发现其中的一些相当合理，因为它们拥有一个具备良好性质的经典孤子解。（不仅如此，这些解通常还具有一些特殊的性质。在某些情况下，这些性质是后续发现的线索。）其它的文章则不太合理，因为在经典近似不太好的区域，经典解出现一个奇点。但哪怕一些文章的细节是可疑的，膜作为弦论中非微扰的类孤子物体的想法是十分合理的。我仍有一丝疑虑，就是从一想法中我们能得出什么，但基于我已经给出的这些原因，我对此给予了大量关注。事实上这就是为什么申恩关于双磁单极束缚态的文章出来的时候我会彻底改变观念的原因。
申恩的文章表明你可以就强耦合做些新东西，而且很显然如果你受到跟他一样的启发的话，你甚至可以在10或15年前就做出他的工作。因此，这表示我们一直在错失机会。而这确实改变了我研究的方向。它引发了你之前善意提到的我和瓦法的那篇文章，并且它帮助塞伯格和我走上了正轨，从而做出了我们1994年以及后续的工作……
大栗：这是一个伟大的故事，它告诉我们机会垂青于有备者，正如庞加莱所说。在那以后，你进一步迈向了弦对偶。
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