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深论“多”与“少” 精选

已有 2999 次阅读 2021-1-17 06:13 |系统分类:科普集锦

 深论“多”与“少”

周铁戈

生活中我们经常使用“多”和“少”这两个字,比如“早上五点路上人很少”、“早高峰路上人很多”,本文将从数学上深入讲一讲“多”和“少”。对于数量有限的对象,很容易比较它们的多少。比如A的数量是50,而B的数量是90,那么肯定是B比A多。问题出现在无穷多,无穷多和无穷多能比较谁更多吗?如果能,应该如何比较?比如我们可以提这样两个问题: 1、所有整数和所有有理数,谁的数量更多?2、所有有理数和所有无理数,谁的数量更多?这两问题涉及的数量都是无穷的。

为了对此进行回答,先介绍集合的概念。把一些确定的、彼此有区别的、具体的或抽象的东西(称为元素)作为一个整体,便叫做集合。集合中含有元素,比如所有整数放在一起可以构成一个集合(一般用Z表示整数集合),其中的整数就是元素;所有有理数放在一起构成一个集合(用Q表示),有理数是元素;所有无理数放在一起构成一个集合(用Ω表示),无理数是元素。

“多”和“少”就是集合中元素数量的问题。如果一个集合中的元素个数是有限的就称为有限集,如果一个集合中的元素个数是无限的就称为无限集。两个有限集可以很方便的比较其中元素个数的多少,比如集合A有5个元素,集合B有6个元素,当然B的元素数量多于A的元素数量。

无限集的元素数量肯定比有限集的元素数量多。无限集之间应该如何比较元素数量的多少呢?这需要引入集合对等的概念:若存在一个映射φ,是集合A到集合B的一一映射,则称集合A与B对等,记作A~B。一一映射就是说如果A中有一个元素,那B中必须有唯一一个元素与之对应,反过来B中有一个元素,A中也必须有唯一一个元素与之对应,见图1:

 

图1 一一映射示意图

      彼此对等的集合,我们有理由认为它们的元素个数相等,原因很简单,A能拿出来一个,B也能拿出来一个与之对应,A能拿出多少个B就能拿出多少个;反过来B能拿出来一个,A也能拿出来一个与之对应,B能拿出多少个A也能拿出多少个。下面看具体的例子:

(1)A={ 1, 2, 3, 4, 5, ……},B={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}

A与B是否对等?乍一看,好像B比A多出一个元素0,但是两者却是对等的,可以认为元素数量是一样的。让A中的1与B中的0对应,A中的2与B中的1对应,A中的3与B中的2对应,以此类推,两者可以建立一一对应的关系(原因在于它们都是无限集,可以永远的一直对应下去),因而我们可以认为两个集合的元素数量相等。有同学也许会说:B明明多出一个0,A中是没有0的,这就要强调一下,我们讨论的是元素的数量问题,与元素是否完全相同并无关系。

(2)A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ……},B={ 2, 4, 6, 8, 10, ……}

A与B是否对等?乍一看,B是正偶数的集合,而A是正奇数和正偶数的集合,A的元素个数似乎比B多。但是可以让A中的1与B中的2对应,A中的2与B中的4对应,A中的3与B中的6对应,以此类推,两者可以建立一一对应的关系,因而我们可以认为两个集合的元素数量相等。

(3)A={ 1, 2, 3, 4, 5, ……},B={ ……, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}

A与B是否对等?答案:A与B是对等的,可以把B写成{ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …… } 的形式,依次与A中的元素{ 1, 2, 3, 4, 5, ……}对应即可。

(3)A=实数区间(0, 1),B=实数区间(1, ∞)

A与B是否对等?两者可以对等,因为两者之间存在一一映射f(x)=1/x。既然对等就可以认为它们的元素数量相同,即便它们的长度相差很大。

(4)A=实数区间(0, 1),B=实数区间[0, 1]

A与B是否对等?乍一看,B比A多出两个元素,分别为0和1,似乎不能对对等。但是两者也是对等的,因为从第(1)个例子我们就能看出,对于无限集,增加或者减少有限个元素是不影响对等的。

(5)整数与有理数

两者是否对等?这是本文最重要的问题之一,答案是可以对等。有理数可以写成两个整数之比,看见图2给出的表格,给出的是正有理数,表格一直扩展可以列出所有的正有理数。所有的正有理数可以和正整数实现一一对应,进行对应时不能直接拿出其中的一行或者一列与正整数对应,要按照图2箭头标出的顺序依次与正整数对应起来,也就是按照图2的顺序对所有的正有理数进行编号,在编号的过程中要取消已经编号的重复的数。1/1编号为1,1/2编号为2,2/1编号为3,3/1编号为4,2/2就是1/1要从表格中删除,1/3编号为5,1/4编号为6,……

图2 正有理数的排列规则

既然正整数和正有理数是对等的,那么所有整数和所有有理数也是对等的,可以认为所有整数和所有有理数的数量相等。

下面介绍一个新的定义——可列集,凡与正整数对等的集合称为可列集或可数集。有理数集合是可列集。

把所有有理数拿出来放到一起总长度应该是多少呢,我们计算一下。因为有理数是可列的,可以写成数列的形式:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, ……

取 ε>0,ε是一个很小的正数。a1是一个点,长度肯定小于等于ε/2;a2是一个点,长度肯定小于等于ε/4;a3是一个点,长度肯定小于等于ε/8;……。把所有的ε/2、ε/4、ε/8、……都加在一起可以得到

ε/2+ε/4+ε/8+…… = ε

所有有理数的长度小于等于ε,令 ε → 0,可以得出所有有理数的长度为0.

(6)有理数和无理数

无理数不能写成两个整数之比,是无限不循环小数。我们已经知道有理数是可列的,而无理数是不可列的,不能和正整数对等,无理数中数的数量虽然也是无穷,但比有理数更多。证明如下,假设无理数可列,可以按图3的方式排列,A表示整数部分,“.”表示小数点,a1、a2、a3……分别表示小数点后第1位、第2位、第3位……

图3 假设无理数可列的示意图

依照图3,可以找到这样一个无理数,0 . a b c d e ……,其中a≠a1,b≠b2,c≠c3,d≠d4,e≠e5,…… 那么这个数与所有列出来的无理数都不相等,也就是没有被列出来,与假设矛盾,所以无理数是不可列的。这个证明方法叫康托尔对角线法(Cantor,1845.3.3-1918.1.6,德国,数学家,集合论的创始人,见图4)。

 

图4 康托尔

无理数不可列,数量远远多于有理数,实数几乎都是无理数,随机拿出一个实数,是有理数的概率为0,而是无理数的概率为1。把[0, 1]之间所有的无理数拿出来,长度应该是多少呢,长度是1,因为有理数的长度是0。

最后介绍“”的概念,根据对等关系可以把所有集合分类,彼此对等的集合归于一类,属于同一类的集合称它们具有相同的势。势是“元素个数”概念的扩展,对于有限集,势就是元素个数。所有可列集具有相同的势,可列集的势在所有无限集中是最小的。无理数和实数的势大于可列集的势。

总之,无穷多和无穷多可以进行比较,要利用集合对等的概念,有理数与整数对等,可以认为元素数量相等;有理数和无理数不对等,无理数的个数远多于有理数。无限集的元素数量问题非常有意思,感兴趣的同学可以继续搜索“希尔伯特旅馆”。



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