吕振超
一般拓扑学中一个命题遐想
2019-11-19 17:29
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Ponomarev在1960年证明了以下命题:一个T0空间是第一可数的当且仅当它是某个度量空间的开连续像。


我们不打算来讲述这个结论的证明过程,只是来看看这个结论本身。某人说过,真正学好数学应该花更多的时间用于思考命题本身以及的启发,而不是说搞懂它的证明而已。


这个结论看起来似乎利用度量空间的开连续像刻画了一个比较一般的拓扑性质---第一可数,当然是在T0这个分离性的前提下。这个结论初看起来还是蛮惊人的(其实证明不太难),用一个非常好的空间即度量空间取它的开连续像就表达了第一可数空间,即在特殊和一般之间建立了一个联系。 当我遇到一个T0的第一可数空间的时候,自然就想像它是某个度量空间的开连续像,似乎给出了一些额外的信息。由于度量空间是个良好的空间,也增加了我们把握T0第一可数空间的信心。


文献:

Ponomarev, V.I. 1960  Axioms of ountability and continuous mappings.

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