【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1105》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关于用数学归纳法对自然数公理五的证明

评一阳生先生的《1105》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

先要说清楚，公理是不需要证明的。我们在这里所说的对公理的证明，是指公理的等价性的证明，不是在对公理进行证明。这里所说的证明，是指把数学归纳法作为自然数公理5，对【公理五: 任何自然数可由0经有穷次的后继运算而得到】，作为定理来证明，是在证明公理的等价性。

一，关于用数学归纳法证明【公理五: 任何自然数可由0经有穷次的后继运算而得到】。

首先要指出，一阳生文中分的两种情况来证明【公理五】就是错误的。要证明【公理五】，就不能预先假定【公理五确实成立】。你假定它成立还证明什么。在假设公理五成立条件下，证明了 公理五成立。这算什么证明。

如果不是用反证法，也不能预先假定【公理确实不成立】。用反证法是由此推出矛盾使命题得证。我们現在是用数学归纳法的证明不是反证法，当然不能作此假定。

一阳生先生说什么【薛老师不知道其不成立，主观上还是认为其是成立的。结果薛老师在假设其成立条件下，依然证明了.....】这一切都是在胡言乱语。如杲【公理五确实不成立】，薛老师就不会去证明，薛老师严格地用数学归纳法证明了【公理五】，就说明【公理五确实成立】无疑，而且这个证明不是【薛老师在假设其成立条件下】进行的证明。人人都知道【在假设其成立条件下】进行的证明算什么【证明】。

要知道一阳生先生所说的【后继运算能穷尽所有自然数】，就是【公理五】所说的内容: 【任何自然数可由0经有穷次的后继运算而得到】。所以一阳先生所说的【如果承认后继运算能穷尽所有自然数，那么您就能用数学归纳法证明所谓公理五（公理五就等于后继运算能穷尽所有自然数）。如果不承认所谓公理五，数学归纳法客观上就证明不了公理五。】在逻辑上是在说承认【公理五】就能证明【公理五】，不承认【会理五】，就证明不了【公理五】。这在逻辑上是相当混乱的。

从下面这段叙述来看，他说【因为我们尚且不知道后继运算能否穷尽所有的自然数，这种方法也不须要假设后继运算能够穷尽所有自然数。该方法只是在无休止的验证中。】说明一阳生先生对数学归纳法尚未完全理解。

什么是数学归纳法。数学归纳法是说对某性质P。当我们证明了P(0)为真，而且对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下可证P(n+1)为真，则证明了对任何自然数n，P(n)为真。数学归纳法的假定和结论中的【任何自然数】都要求【能够穷尽所有的自然数】。

请注意，这里有两句话都用到了【对任何自然数】。而且这里的【对任何自然数】是否要求【能够穷尽所有自然数】，必须是一致的。第一句是:【对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下可证P(n+1)为真，】在第二句中是:【证明了对任何自然数n，P(n)为真。】第一句中用的【任何自然数】是【能够穷尽所有自然数】，那么第二句结论中的【任何自然数】必然也是【能够穷尽所有自然数】，这应该没有问题。

好，现在我们来看用数学归纳法对【公理五】的证明。

如果定义P(k)=【自然数k可由0经有穷次的后继运算而得到】，显然要证明的【公理五】就是(∀k∈N)P(k)。

用数学归纳法，为了证明【对任何自然数n，P(n)为真。】就是要【证明P(0)为真】，而且【对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下，证明P(n+1)为真。】

【证明P(0)为真】不成问题，因为0是由0经0次后继运算得到的。关键是【对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下，证明P(n+1)为真。】

根据自然数公理2，对任何自然数n，n+1是由n经1次后继运算得到的。因而在假定P(n)为真，知自然数n是由0经有穷次后继运算而得到，n+1则是由0经有穷次加1次后继运算得到的。所以，仍是有穷次后继运算得到的。所以推出了P(n+1)为真。这就是【对任何自然数n，在假设P(n)为真的条件下，证明了P(n+1)为真。】

当然绝对不存在一阳生先生所说的【其中有一个k，使P(k) 真，P(k’)假，使得∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。】难道会有这样的情况，经有穷次后继再加1次后继，就不是有穷次后继了吗？当然，确实是薛老师【发现不了k也不认为存在k，使得∃k（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。】

从而根据数学归纳法证明了【公理五】。

显然一阳生先生说【数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五】，是错误的论断。

二，有穷性质的例子说明不了无穷集合的问题。

我发现一阳生先生的逻辑有些混乱了。要知道自然数集合是无穷集合，当然举有穷性质的例子说明不了无穷集合的性质。吃饭只能吃有穷碗饭，而且不可能吃任意有穷碗饭，更不用说吃无穷碗饭。用它当然说不清无穷的性质。

任何自然数n经一次后继即可得到n+1。如果P(n)为真，即自然数n可由0经有穷次后继而得到，显然自然数n+1也可由0经有穷次后继而得到，因为有穷次加一次还是有穷次，所以P(n+1)为真。不存在k，使P(k)为真且P(k´)为假，从而导致∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）不成立。

三，自然数集合是无穷集合。

一阳生先生说【命题【每个自然数都可由0经有穷次的后继运算得出】反直觉反逻辑。该命题告诉我们自始至终都是【有穷次】的后继运算，却运算出了或对应了全部【无穷个】自然数。】

这里的【自始至终都是【有穷次】的后继运算】没说准确。应该说清是【每个自然数是经过有穷次的后继运算而得到】，因为自然数有无穷多个，所以整个这个无穷集合的生成过程是无穷过程。所有自然数集合是所生成的所有无穷多个有限集合的并集。这里没有【反自觉】【反逻辑】的任何因素。

一阳生说【由0开始自始至终都是【有穷次】的后继运算只能得出【有穷个】自然数，得不出全部的自然数。】这是认识上的错误。每个自然数可经有穷次生成，但所生成的所有的自然数却不是有穷个，而是无穷多个。希望一阳生先生很快纠正这个认识上的错误。建议一阳生親自用无穷集合的严格数学定义证明【所有自然数集合是无穷集合】。

四，对自然数集合要有正确认识。

一阳生先生说【看到您这样写让我大感意外】。你的【大感意外】几个字，使我恍然大悟，原来问题出在你对自然数这个无穷集合，缺乏最基本的了解。你不了解自然数这个无穷集合是那些无穷的归纳集合中最小的一个。它的特性就是【每个自然数都是由0经有穷次的后继而得到的】。自然数集合的特性，它同其它归纳集合的区别，就是自然数集合有公理五而其它的归纳集合不满足公理五。为什么2ω这个序数集合{0,1,2,...,ω.ω+1,...}不是自然数集合，就是其中的超穷序数ω和ω+1等都不能由0经有穷次的后继而得到。但是自然数集合{0,1,2,...n....}中的任何元素n都可由0经有穷次的后继而得到。这是自然数的特性，所以列为自然数的公理五。归纳集不要求满足这个特性，所以只有四个公理。

所以关键是一阳生先生设有正确认识和理解自然数这个无穷集合。自然数集合就具有这个特性，自然数有无穷多个，但每个自然数都是能由0经自穷次的后继运算而得到。

数学归纳法的证明要求对自然数集中的每个k 都有（P(k) ⇒ P(k’)），这就是要求对这无穷集合中的无穷个k ，∀k∈N（P(k) ⇒ P(k’)）。

五，自然数的定义(3)和公理五是一个意思，没有什么不同。

我在《1103》中说到集合论中对自然数的义: 〖(1)空集是自然数。

(2)若n是自然数，则nU{n}是自然数。

(3)所有的自然数都是由(1)和(2)得到的。

要知道这就等价于自然数的皮亚诺公理。因为公理3和公理4可由空集和后继的定义nU{n}的性质推出。而(3)就是【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。〗

一阳生先生说【您说：“…而(3)就是【公理五:…】。” 您把这两个概念完全等同是错误的。】他是说我把【后继数】与【后继运算】这两个概念完全等同了。其实后继数就是由后继运算得到的数。没有什么概念等同不等同的问题。定义(3)说〖所有的自然数都是由(1)和(2)得到的。〗公理五说〖任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到〗，意思是一样的，没有什么不同。你说它的不同是什么？

六、关于向后归纳原理的证明。

最后，再谈关于向后归纳原理的证明。一阳生先生引的原文是【《陶哲轩实分析》第二章关于向后归纳原理的内容如下：设n是自然数且设P(m)是一个依赖于自然数的性质，它满足条件：只要P(m++)成立则p(m)也成立。假设P(n)成立，证明对于一切自然数m ≤ n，P(m)成立。此即所谓向后归纳原理。（提示：对变元n用归纳法。）】

可一阳生先生在《1105》中说【定理(向后归纳原理)。设P(m)是一个依赖于自然数的性质，它满足条件：对于任何自然数m，只要P(m+1)成立则p(m)也成立。设n是任意自然数，且假设P(n)成立，证明对于一切自然数m ≤ n，P(m)都成立。（此为您对向后归纳的理解，这是错误的。）】

我对照了一下，几乎字字不差。怎么说我【理解错误】，请问错在哪里？

一阳生先生进一步作了如下定义:定义Q(n)为【对于一切自然数m ≤ n，P(m)都成立。】于是向后归纳原理就归结为如下定理。

定理(向后归纳原理)。设P(m)是一个依赖于自然数的性质，它满足条件：对于任何自然数m，只要P(m+1)成立则p(m)也成立。于是对任意自然数n，如果P(n)成立，则Q(n)成立。

也就是说向后归纳原理是在说，对于满足条件(∀m∈N)(P(n+1)→P(n))下的性质P(m)来说，对任何自然数n，P(n)→Q(n)。

为了证明【对任何自然数n，P(n)→Q(n)。】我们用数学旧纳法对n进行归纳。下面给出具体证明。

当n=0时，假设P(0)成立，由于m≤0的m只有0一个数，而且P(0)成立，所以对于一切自然数m ≤ 0，P(m)都成立。即Q(0)成立。证明了P(0)→Q(0)，从而证明了定理对于n=0时成立。

现在当假定定理对于n时成立，P(n)→Q(n)，证明定理对于n+1时成立，P(n+1)→Q(n+1)。

显然如果此时假设对于n+1，有P(n+1)成立，就可根据性质P满足的条件，推出P(n)成立。再根据定理对于n成立的假定，推出Q(n)成立。这就有对于一切自然数m ≤ n，P(m)都成立。再加上P(n+1)成立，这就证明了对于一切自然数m ≤ n+1，P(m)都成立。这就是我们要证明的Q(n+1)成立。证明了P(n+1)→Q(n+1)，从而定理对于n+1成立。

既然我们证明了定理对于n=0时成立，又证明了如果定理对于n时成立，则对于n+1也成立。那么根据数学归纳法，我们就证明了定理对所有自然数都成立。证毕。

下面我们来分析一阳生先生在证明中的错误。

他说【假设对于任一自然数n，若P(n)成立，则Q(n)成立。（要证明蕴含关系成立，只须证明前提成立时，结论也成立即可。）】

应用数学归纳法证明，是假设定理对于n时成立，证明定理对于n+1时成立。所以定理对于n时成立的这个蕴涵式P(n)→Q(n)是假定成立的，它的成立不需要证明。

他又说【对于n+1，我们只须在假设的条件下，证明P(n+1)成立即可。】这个说的也不对，证明定理对于n+1成立，是证明P(n+1)→Q(n+1)，是在P(n+1)成立的假设下证明Q(n+1)成立，不是要去证明P(n+1)成立。这是一阳生先生理解的错误。

一阳生所说的【只要在假设下证明了P(n+1)成立，根据假设就会有【对于n+1，若P(n+1)成立，则Q(n+1)成立。】。进而假设成立】这些都是错误的理解。

一阳生先生之所以【产生了一个无解的问题】【证明不了】就是由于他理解的错误。根本不需要证明P(n+1)的成立。而是要证明P(n+1)→Q(n+1)。

我发現一阳生先生对语句的理解有问题，他说【薛老师的【设n是任意自然数，且假设P(n)成立。】，当然就是假设了∀n∈N P(n)成立。】

先生没引全，我的原话是【设n是任意自然数，且假设P(n)成立，证明对于一切自然数m ≤ n，P(m)都成立。】我说的是(∀n∈N)(P(n)→Q(n))。怎么一阳生先生把它理解为(∀n∈N)(P(n))了呢。这显然是很不一样的。如果我说【学校任何学生，假定这个学生是女生，可以证明它穿过裙子。】你能说【当然就是假设了全校所有学生都是女生】？

可見一阳生失生在向后归纳原理的理解中发生的错误，可能是由于他在对逻辑语句的理解上就有错误引起的。希望一阳生先生再做些认真的思考。把其中的逻辑关系搞得再清楚点。

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