Zmn-1084 薛问天: 认为无限集合处在动态生成而不可完成就是否定无限集合的存在。评林益《1083》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《Zmn-1083》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

认为无限集合处在动态生成而不可完成就是

否定无限集合的存在。评林益《1083》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，自然数有如下这样的特点。

【每个自然数都可由0经有穷次的后继运算+1而得到】，但是【所有的自然数却有无穷多个。】，

【有限个自然数构成的集合是有限集合】。但是【所有的自然数构成的集合却是无限集合】，

无论是有限集合还是无限集合都可动态生成。在生成过程中，都是处于动态地生成状态。这个动态的生成过程就是由0这个元素，持续地进行后继加1运算，不断生成新的自然数。

有限集合的生成过程，有这样的特点。它是有限过程。当生成过程完成时，有最后一步，有最后一步生成的自然数，就是这个有限集合的最大自然数。

但无限集合的生成过程并不是这样。它是无限过程，过程不可半塗中止，而是不断的延伸，最后无穷过程整个完成。当过程整个完成时，并不是半塗中止，没有最后一步，从而没有最后一步生成的最大自然数，也没有最后一步生成的最大的自然数有限集合。最后生成无穷多个有限自然数集合。这些集合的并集构成所有自然数集合。这个过程可以整个完成，过程完成后就生成了完整的确定的无穷集合。这个集合中有无限多个元素。无限集合中没有最大自然数。

在所有集合的生成过程中，都处于动态生成状态。但过程完成后，所有无穷多个有限集合和它们的并集这个无限集合，都处于静态完整的确定状态。当然这个加1的运算就不需要，也不会继续进行。生成好的无穷多个有限集合不会再增多，它们的并集这个无限集合的外延是确定的不会再变。我们所讨论和研究的全体自然数集合就是处于这种己经生成完成好的无限集合。

二，当然，所有的自然数都是有限数 。但一定要认清如下这个事实。

【每个自然数都可由0经有穷次的后继运算+1而得到】。但是【所有的自然数却有无穷多个】，【所有的自然数构成的集合却是无限集合】。

也就是说数学归纳法的结论，是对所有这无穷多个自然数都是适用的，是对这自然数无穷集合中所有的元素都是适用的。

林益先生所说的【无穷是一个不断延伸变化的动态过程，本身就是不确定的，它们的属性完全不同，因此不存在共同属性，因此必然是错误的，】是不对的。这无穷多个自然数构成的无穷集合是外延不变，静态确定的集合，当然有其硝定的属性。

三，林益先生对归纳集合的理解是错误的。

归纳集合是滿足皮亚诺前四条公理的集合。自然数集合是滿足全部皮亚诺五条公理的集合。因而自然数集合是最小的归纳集合。归纳集并不是定义为能同自然数集合建立一一对应的集合。

四，林益先生把有限集合看作是静态的，把无限集合看作是动态的。这种看法是不对的。

事实上无论是有限集合还是无限集合。只有处在生成过程中时才是处于动态。在生成过程完成，集合己最终形成完成后，集合就处于外延不变的确定的静止状态。

林益先生说【因为可以按照自然数 “+1”延伸的延伸规则不断生成新的自然数的动态过程，不断产生新的自然数，......如果成为静态，就没有产生新的自然数的动态延伸过程，就不能再有新的自然数产生，那么已经生成自然数数列只能是有限数列。】

要知道这说的动态过程完全指的是集合和序列的生成过程。在生成过程中，当然处于动态的状态，不能是静态。但在生成过程完成后，无穷集合和无穷序列已经完全形成。就必然处于静态的状态。这时当然不需耍再增加什么新的自然数和序列的新项了。我们研究的无穷集合和无穷序列都是指生成过程完成后的对象，不是指正在生成的尚未完成的对象。要知道无限集合在生成过程中，可能就还不是无限集合，而是有限集合，怎么能看作是无限集合呢？所以这样的看法是完全错误的。

五，林益先生对无穷公理有不少的的错误认识。

1，由于归纳集合是无穷集合。所以无穷公理断定存在归纳集合。就是断定有无穷集合的存在，因此称此公理为无穷公理是名副其实的。

公理不是定义。所以林益要求说【无穷公理应该介绍无穷的概念或定义什么是无穷】是无理的要求。关于什么是【无穷集合】，另有严格的定义。

2，要求【无穷公理应该交代无穷的特征，和所有无穷的类型，】也是对公理的不适当的要求。

3，无穷公理要断定有无限集合的存在，只需要断定任何一个无限集合的特例存在即可。断定有无限集合归纳集的存在，就断定了有无限集合的存在，这就是此公理的确切含义，不存在【不合适】的内容。

4，林益先生说【没有确定无穷概念基础上，强调无穷集合的存在，显然违反逻辑的定义规则，也违反因果律；】是完全错误的。在集合论中对有限集合和无限集合有明确的定义。这不是公理断定的内容。无穷公理断定存在归纳集合。另外可由无穷集合的定义来严格证明归纳集合是无穷集合。所以这个公理并没有【违反逻辑的定义规则】，也没有【违反因果律】。

5、从林益先生的评论来看，他对无穷公理内容的理解错误太多。例如他说【逻辑表达式为：{𝒏}∪𝒏中的𝒏显然是自然数，】这显然是错误的。

无穷公理用非形式化的语言陈述是：存在一个集合N，使得空集在N中，并且只要x是N的成员，则x与它的单元素集合{x} 此两者的并集，即xU{x}也是N的成员。这种集合N是以空集作为0，以xU{x}作为x的后继的归纳集合。

显然这里表达式xU{x}中的x并不是自然数，而是归纳集N的任意元素。

林益先生还接着说【如果{𝒏}∪𝒏作为自然数数列的延伸规则，自然数数列必然从有限不断延伸，有始无终，不能完成，也不能结束，一直处于动态的延伸过程中，这正是所谓潜无穷概念的特征，......】

林益先生没有读懂，无穷公理怎么断定有无穷集合的存在。实际上，无穷公理只是断定有归纳集合的存在。而归纳集是无穷集，可由无穷集的定义，进行严格证明。这个定义和证明不是此无穷公理直接讲述的内容。

我可以在这里简单介绍一下，先由定义开始。

定义1(有穷集合)。我们称集合A是有穷(有限)集合，当且仅当存在有自然数n，使A同n={0,1,2,...,n-1}一一对应。

定义2(无穷集合)。我们称集合是无穷(无限)集合，当且仅当此集合不是有穷集合。

另外我们知满足皮亚诺公理前四条公理的集合是归纳集合。满足皮亚诺公理全部五条公理的集合是自然数集合。

定理。归纳集合是无穷集合。

证明。用反证法。基本证明思路如下。假定归纳集G是有穷集。则此归纳集可同有限自然数集合n={0,1,2,...,n-1}一一对应。由于是有限集，可以使此一一对应的双射f:n→G，满足条件f(0)是G中的0，并且对于所有的k=1,2,...,n-1，f(k)是G中经k次后继运算得到的元素Gk。显然G中由0经n次后继运算得到的元素Gn=[f(n-1)的后继]，在此映射f下就没有原像。即在此映射f下，在n中不存存自然数n，使f(n)=Gn。即单射f不是满射，推出f不是双射。同前面说f是一一对应的双射发生矛盾，使反证法得证，归纳集不是有限集，是无限集。证毕。

六，林益先生把动态认为是无穷的特征，把静态认为是有限的特征，不合适。

他说【不断延伸的动态过程就是无穷集合的特征，也是无穷集合的本质。任何静态的完成结束的事物都是有限的。】我前面已经讲过，用动态和静态来解释无穷和有限的本质并不合适。无穷集合和有限集合都有动态和静态两个方面。它们生成的过程，都可以看作是动态的生成过程，但它们生成的过程完成以后，生成好的集合，无论是有限集合还是无穷集合，就都处在静态的状态。有确定的固有不变的外延和各种确定的集合属性。认为无穷集合的生成过程永远不能完成，那就是说认为无穷集合永远不能完成，不存在完整的确定的无穷集合。这种全面否定确定的无穷集合存在的观点，显然是错误的，不符合客观事实。

因为我们知道有那么多无穷集合确实的存在。我们所举的小球经过从0到1这个区间的例子就很说明问题。我们所说的0.9,0.99,0.999,......只是区间中的一个无穷集合，其实区间中的无穷集合密密麻麻多的是，一个接着一个。例如，先经过0.19,0.199,0.1999,...这无穷个点的集合，到达0.2，再经过0.29,0.299,0.2999,...这无穷个点的集合，到达0.3，......等。如果经过前面的无穷集合不能完成。如何继续经过后面的无穷集合。当然经过这些无穷集合的过程，都是可以完成的。怎么能说【无穷不能完成】，显然这种说法不符合事实。经过了的无穷集合，还怎么处于动态，当然就处于静态。

七，看来林益先生还未完全理解数学归法在证明中的作用。

在证明中应用数学归纳法一次，即只算推理的一步，就等同于经过了所需的所有有穷步的延伸推理。所以说应用数学归纳法，并不需要进行【不断延伸推理】，应用数学归纳法一次推理。它的结论就适用于所有的这无穷多个自然数。这是因为自然数有如下特性(皮亚诺第五公理)【所有自然数都可由0经有穷次后继运算而得到】。但要注意所有的自然数有无穷多个。所有的自然数构成的集合是无穷集。 

请林益先生不要空洞地抽象地谈论他提出的反对意見。他说【数学归纳法证明的结论只是在任意有限的条件下是正确的，绝对不能推广到无穷的情况中去。】

说具体点，说清楚，你反对的是什么意見，举个实例，什么叫【推广到无穷的情况】。

要知道数学归纳法的结论适用于所有的自然数，但这些自然数有无穷多个。

 八，这一段的问题是林益先生把“任意”和“所有”两个词的语言和通常语用含义的不同和数理逻辑中全称量诃(∀x)p(x)的解释混为一谈了。

“任意”和“所有”两个词在语言和通常语用含义上，当然有不同的地方。【任意】指的是个体，【所有】在指个体时同【任意】是相同的，如女校【任意学生都是女生】同【所有学生都是女生】其中的含义完全相同。但当【所有】指整体时，说某班【所有学生可排成方阵】，就不能用【任意】，说【任意学生可排成方阵】当然不通。

但是由于在数理逻辑中的全称量词(∀x)是在谓词P(x)前面; (∀x)P(x)。而谓词说的x都指的是集合X中的个体x∈X，而不会指集合的整体Ⅹ。所以全称量词解释为【所有】和【任意】则是含义完全相同。全称量词中的【所有】说的是【所有的个体】，只不过是由于谓词P(x)中的x不会指整体，所以把【的个体】三个字省略掉了而已。你在理解时在心中把它添上就相当明白了。【所有的个体x】同【任意x】的含义完全相同。

林益先生主要是没有注意到这个差异，其实只要注意到这个差異，所有问题都可迎刃而解，不必费此口舌。

结论。

林益先生认为无限集是【按照一定发展变化规律的不断延伸，有始无终，不能完成，也不能结束，一直处于动延伸的过程。一直处于动态延伸的过程就是无穷的本质和特征。】是不合适的。

认为无限集都是处于正在动态生成阶段，没有完成，实质上就是否定完整的确定的，外延不变的无穷集的存在。这种观点不符合事实真相。实际上，任诃人都否定不了，无限集合是客观大量存在的事实。

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