Zmn-1051 薛问天 : 是错误就要承认，评沈卫国先生的《1048》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对沈卫国先生的 《1048》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

是错误就要承认，

评沈卫国先生的《1048》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

我上篇说《沈卫国先生【答复】错误连篇，指出了他的文章的四个错误，我看了他《1048》的辩解，个个错误都反驳不了，但却又不肯承认。这就不好。是错误就要承认。

一，沈先生否定不了〖两个dx表示的是不同函数的不同微分〗。

很清楚，关于同一符号表示不同对家，〖如果通过上下文，我们明确地知道，这个数学符号在不同地方表示的是不同对象，那么既然知道它们是不同的对象，它有不同的值，就不是矛盾。是可以允许的。〗文言一心的观点同我基本上也是一致的。他也对认为不合适需要修改的 ，也要有一定的条件，那就是【没有提供足够的解释或上下文信息来区分它们】。

关于微分，我说得很清楚，〖不同函数定义的两个不同的微分，一个是某函数的自变量微分，一个是另一函数的因变量微分。在对正反两个函数y=f(x)和x=g(y)分别求微分时，在(1)中用dx表示的第一个函数的自变量微分，和在(2)中用dx表示的第二个函数的因变量微分是不同的微分。並不要求这两个函数互不相干。正反函数互为正反，而且用的是同一变量x和同一变量y。但微分是分别属于两个不同函数的微分，两个dx并不相同，两个dy也不相同。这是由微分的定义所明确规定的。〗

可沈先生却说【在薛问天的第一段，明明我们说的就是有关的函数，他偏说无关，是两个不同函数。比如，他故意用f、g表示反函数关系，给人的印象，似乎二者无关。......】

故意拿有关和无关来说事。谁说【无关】了，说的很清楚〖並不要求这两个函数互不相干。正反函数互为正反，而且用的是同一变量x和同一变量y。〗怎么能【无关】呢？问题是根据函数【有关】并不能否定它们是不同的函数，不能否定〖但微分是分别属于两个不同函数的微分，两个dx并不相同，两个dy也不相同。这是由微分的定义所明确规定的。〗这个重要的事实。所以说沈先生根本否定不了我指出的他用来否定微积分的错误。

二，微积分中明确对函数y=f(x)定义了两个微分。一个是函数的因变量微分dy，一个是函数的自变量微分dx。

这是明确无误的。

但沈卫国上次却说【在薛问天文章的第二部分，说什么函数的微分有两个。这绝对是错的。去看教科书，函数微分的定义只有一个，没有两个。】这次又说【薛问天第二段，说叫我去查教科书，看微分定义有两个，一个因变量的微分，一个自变量的微分。我给你发一个照片，是大数学家王元与方源合著的教材中的，您自己看。有自变量的微分一说吗？ 】

沈先生没有学懂微积分，王元的教科书也定义得很清楚，为函数y=f(x)定义了两个微分，一个是dy=f′(x)Δx，一个是dx=Δx。

沈先生你拿王元的书能证明你上次说的没有错误吗？你上次说【说什么函数的微分有两个。这绝对是错的。去看教科书，函数微分的定义只有一个，没有两个。】王元定义的dy和dx是一个还是两个？

要知道教科书中说【我们常常选取dx=Δx】，这就是对微分dx的定义。只不过它没有起名把dy叫做函数y=f(x)的因变量微分，把dx叫做函数y=f(x)的自变量微分而已，但大多数教科书中都叫这个名称，这个名称已成为业界的共识。沈先生认为对函数只定义了一个微分，只有dy没有定义dx，显然是认识上的′错误。这很简单，查查书就清楚了。

有些教科书中没有把函数的自变量微分dx直接用Δx来定义。而是换了一种定义。把函数的自变量微分dx定义为恒等函数I(x)=x的因变量微分。因为恒等函数I(x)=x的导数=1，所以恒等函数I(x)=x的因变量微分就是I′(x)Δx=Δx，证明了这样的定义同直接定义dx=Δx是等价的定义。

沈先生对此没有弄懂，却说什么【不可笑？微积分自变量的微分问题，根本的问题，是只能把它当成自函数，不能是其它特别是非线性的函数，这个不对，】

沈先生的关键错误是没有认清微分是函数的微分，却错误地认为微分是变量的微分，如他说

【任何变量都可以是其它变量的函数（因变量）甚至是非线性函数。.....如此造成自变量的微分与函数的微分不一致的问题，】认为dx是变量x的微分，是一个变量对象构成各种不一致的微分。从而认为产生了矛盾。

这个错误认识完全是由于没有学懂微积分，对微分概念的错误理解造成的。

例如他举正反函数的例子，显然对正函数可形成两个微分dy和dx。但对它的反函数，也可形成两个微分dx和dy。由微分的定义可知这两个dx是不同的微分，两个dy也是不同的微分。而沈先生把微分看作是变量的微分，认为只有一个dy，一个dx，显然是明显的错误。当然，在特殊情况下，不同的微分也有可能在数值上相等，例如在f和g都是线性函数时，但这种特殊情况需要专门的证明。而沈先生举的正函数是y=2x，反函数是x=y/2刚好是线性函数。拿这种特殊情况说事，显然是不合适的。

说什么【此时我们同样可以认为原先的因变量y，此时为x的自变量。没有什么自变量的微分定义一说，】他根本就没有学懂微分，这里的微分dy有两个，一个dy是正函数的因变量微分，一个dy是反函数的自变量微分。这里的微分dx也有两个，一个dx是正函数的自变量微分，一个dx是反函数的因变量微分。一般情况下，它们是不同的微分。

三，我指出的沈先生的第三个错误是，竟然分不清函数和变量两个数学概念不同，说【薛问天居然说函数与变量不同。这就更离谱了。】【函数与因变量是同义词】。

这当然不离谱，【函数】和【变量】当然是两个不同的概念，说【函数与因变量是同义词】是完全错误的。

这其实不用讨论，查查和说说这两个概念的数学定义就完全清楚了。任何教科书中对变量和函数都是在不同章节中讲述的。沈先生根本无法为他的错误辩解。

函数和变量怎么能没有差别呢。沈先生的错误就在于没有认清微分是函数的微分，错误地认为微分是变量的微分。把正反两个函数构成的四个微分，错误地说成是变量x和y构成的两个微分。

四，第四点我指出的错误是，明明微积分中说得很清楚这两微分dx，是两个函数中不同的微分。dx在(1)中表示的是函数y=f(x)的自变量微分。dx在(2)中表示的是另一个函数x=g(y)的因变量微分。是两个函数的不同的微分。可沈先生却说【问题是，同一个dx，完全可以又是函数的微分又是自变量的微分。注意这里是同一个共同的dx，不是两个公式中的不相干的dx。】也就是说【这里是同一个共同的dx】这不是微积分的规定，而是沈先生的错误认识。当然最后他也承认【我们说的，是同一个dx，】

所以他根本否定不了他的错误。没想到沈先生不但不承认他的错误，竟然拿名人的错误来为他壮胆。他说【我的这个“我们”，包括了大学者莫绍揆先生。我也把名人抬出来镇镇场子。我同样等着您薛问天先生批一批莫先生。】

沈先生的这种覌念是错误的，不要认为任何大家和名人就不会犯错误。莫绍揆教授是我国有名的数理逻辑专家。但他不是专门从事微积分这门基础学科的教授，是在有些年份高校让知名教授教基础课，于是莫教授就教了微积分这门并不是他的专长的课程。提出了一些并不正确的观点，如认为定义dx=Δx有错等。对此我早已作过评论，(详見-[点击即可访问]

• zmn-012 薛问天：解开微分迷团 2018-7-7 16:14

zmn-012 薛问天：解开「微分迷团」，兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。2018-7-7 16:14)

希望沈先生不要拿名人的错误来为自已抱团取暖，而是要勇于承认和改正错误！

另外，关于正反函数y=f(x)和x=g(y)的导数dy1/dx1=f′(x)，dx2/dy2=g′(y)之间有互为倒数的关系。

f′(x)=1/g′(y)，即

dy1/dx1=1/(dx2/dy2)，或写成

dy1/dx1=dy2/dx2。

但由此绝推不出dy1=dy2和dx1=dy2。所以说沈卫国先生的结论【则必然有dy2 = dy1，dx2 = dx1，】就完全错了，犯了严重的错误。

当然，在某些特殊情况下，也有可能使dy2 = dy1，dx2 = dx1。例如我们可证，由于函数因变量微分是增量的线性主部，所以如果y=f(x)是线性函数，则Δy=dy1，从而dy1=dy2。同理，如果x=g(y)是线性函数，则Δx=dx2，从而dx1=dx2。但要注意f和g是线性函数，只是特殊情况，在一般情况下，f 和g不一定是线性函数，所以在一般情况下推不出dy2 = dy1和dx2 = dx1的结论。

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