Zmn-1023 李鸿仪 : 我与薛问天先生的基本分歧，评zmn1020

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我与薛问天先生的基本分歧，评zmn1020

李鸿仪leehyb@139.com

我的基本观点是无限是不能完成的，所以不存在已经完成了的唯一的自然数集合。即自然数集合不是唯一的。由此证明了康托几乎所有的东西都是错的（见zmn1015）。

薛问天的基本观点是无限是能完成的，所以存在已经完成了的唯一的自然数集合。即自然数集合是唯一的。由此认为我的文章通篇都是错的（见zmn1020）。

由此可见，我与薛问天的基本分歧在于无限究竟是否能够完成？

在讨论这个问题之前，首先必须端正思想方法:不能用书本知识或历史发展来代替逻辑论证，这是因为，书本知识未必正确，历史未必一定不走弯路。

例如，关于无限的本质，以及无限究竟能否完成，文献上一直有争论。唯一正确的解决方法就是用严格的逻辑来讨论。

另一个要求是任何命题都必须有严格的证明且经得起反复推敲，不允许存在任何反例，更不能有任何自相矛盾。

例如，如果认为某命题是错的，就必须证明它是错的，至少要给其之所以错的充分理由，不能仅仅简单化地给出一个判断了事。

如所周知，在数学中，无限大指的是数的大小没有界限或限制，可以一直增加。

由于实数域内任何数都是有限的，因此实数域内的无限大就是指有限数的大小没有界限和限制而已，

因此，无限大的本质，其实非常简单:不过是可以永远增加的有限值，例如每一个自然数是有限的，但自然数集合是无限的，所以自然数集合的无限性仅在于:有限的自然数的增加过程永远不会完成。

由此可见，无限大的本质就是不能完成。例如，如果有限的自然数的增加过程可以完成，那就必然完成于某一个具体的自然数，也就是存在着最大的自然数，这时形成的就只能是有限集合，而不可能是无限集合。

这不过是再简单不过的事实。

至于无限小，通常可以看作是无限大的倒数。

不过，薛问天认为无限是可以完成的。比如，他认为，时间t=1时已经过了0.9 ，0.99，0.999……等无数个点，因此当t=1时，无限已经完成。

t=1时只是达到了无限，但这并不意味着无限已经完成，道理非常简单，如前所述，无限的本质不过是可以永远增加的有限值，如果无限已经完成，用自然数表示的9的个数就不能再增加了，当然就是一个只有有限个9的有限小数而不是无限小数。

因此，在t=1这一时刻，9的个数仍然在不断增加，只是每增加一个9只需要零秒而已。

由此可见，t=1时，之所以可以认为已经达到了无限，正是在于9的个数仍然可以不断增加，即该过程永远不能完成而已。

有些无限过程不但不能完成，而且也永远不能达到。例如，圆周率的计算就是这样一个过程。
 

由此可见，无限即使能达到，也永远不能完成，这就是无限的本质特点。

有一个网友设计了这样一个思想实验:当有奇数个9时亮黄灯，有偶数个9时亮蓝灯，问t=1时亮什么灯？

如果无限可以完成，t=1时，要么亮黄灯，要么亮蓝灯，但究竟亮哪一种颜色的灯？显然，对包括薛问天在内的所有认为无限可以完成的实无限论者来说，这是一个永远无法回答的问题。

用我的理论却可以很容易地解释:

t=1时，9的数目仍然在不断增加，有无数个状态，其中一半状态亮黄灯，一半状态亮蓝灯。

这里要注意，实际实验和思想实验的不同:在实际实验中，由于实验器材都是有质量的、有惯性的，所以任何事件都是需要时间来完成的。例如，灯的开和关，就需要或多或少的时间。思想实验则不同，比如说我们在思想上将自然数通过加1加到100或加到100万亿，所需要的时间并没有什么不同，因此未必一定要考虑时间因素。

这里我可以再举一个可以不考虑时间的例子。在物理学中，假定相对论是正确的，则速度是有限的，不能超过真空中的光速。但在数学上，如果假定速度是无限的，电子从某一个地方到另一个地方所需要的时间就是零秒，也就是说，在同一个时刻，电子可以既在这里又在那里。

实际上，电子以接近光速运动，对于有滞后的观察者来说，与上述情形相差无几:如果用一个分辨率高到可以拍摄电子的高速摄影机来拍摄，由于实际上的曝光时间不可能等于0，我们并不能拍摄到单独的电子，而只能拍摄到所谓的电子云。这是不是所谓波粒二象性的本质，要由物理学家来回答，我这里只是说明了，在无限的假定下，同一时刻可以有不同的状态。既然如此，在任意一个时刻(例如t=1时)都不能断言无限已经完成了。

事实上，能够完成的永远是有限而不是无限。

承认自然数集合没有最大自然数，实际上也就是承认自然数集合的形成过程不能完成:一旦完成，就意味着不再有新增加的自然数，当然就不可能有更大的自然数了，这时必然可以在已经形成的自然数集合中找出一个最大数，与集合的无限性矛盾。

因此，无限能够完成与不存在最大自然数是自相矛盾的。如果连这样明显的自相矛盾都看不出来，那只能说明其思维已经糊涂到了极点。

同理，如果认为无限集合的外延是确定的，也意味着不再有新增加的自然数，这时也必然可以在已经形成的自然数集合中找出一个最大数。

有一个对康托理论深信不疑的网友不相信，我让他用最基本的找最大数的算法去编一个程序，最后他没话可说了。

这么简单的事实是不可能否定的。

既然自然数集合的形成过程永远不会完成，就没有任何理由可以讨论已经完成后的自然数集合:那样的集合根本就不存在。

事实上，自然数集合确定不变的是其内涵:每一个元素都是自然数，至于其外延，由于无法形成全体自然数，所以无法保证它的外延是不变的。

有的人认为，如果把自然数集合定义为已经包括了全体自然数的集合，这样定义的自然数集合当然是唯一的，研究起来显然就要方便得多。

目前，主流数学界其实就是这样定义的。

可惜的是，这样的自然数集合实际上并不存在。

    如果有人一定要研究并不存在的东西，比方说在欧几里得空间中研究并不存在的正十面体，当然是他的自由，没有人能拦住他，但绝不能因此把不存在的东西当做存在的东西。

至于为了研究方便而削足适履地随意篡改事实，那只能说明篡改者严重缺乏最起码的科学精神。

既然自然数集合的形成过程永远不能完成，我们当然就永远得不到已经完成了的自然数集合。如果连这样一个简单且可靠的事实都要否定，也同样说明否定者的思维已经糊涂到了极点。

也就是说，我们实际上观察到的自然数集合都是正在形成过程中的自然数集合，不存在已经完成了的、包括全体自然数的集合。由于形成过程的程度不同，所以在不同形成阶段的自然数集合互不相同，并不存在一个唯一的自然数集合。

 因此，自然数集合不能定义为由全体自然数组成的集合，只能采用其他方法定义，比如说可以定义为由无限个自然数1，2，3……为元素的集合，

除了以上论证外，我实际上还用了多种方法证明了自然数集合的非唯一性（见zmn1015）。这里我再给出一个更简单的证明方法:

如前所述，实数域内的无限就是指有限数的大小没有界限和限制而已。为此，

定义：称取值为1，2，3….. 的无界递增变量为无限变量。

无限变量的性质：

性质1：对于任一个自然数n*，总存在无限变量的取值n’，使得n’﹥n*，

性质2：对无限变量的任意取值n’，总存在自然数n*，使得n*﹥n’。

引理1 不存在全体自然数。

证明（反证法）：假定存在全体自然数，则性质1可改写为，对于全体自然数中任一个自然数n*，总存在无限变量的取值n’，使得n’﹥n*，即无限变量的取值n’可以大于全体自然数中的任何一个， 显然这与性质2矛盾，即不存在全体自然数。证毕

只要指不出该证明中的不严格之处，就必须承认该引理。

这里要注意，只有当“全体”这个概念存在时，“任一”才可以当作“全体”，否则的话，如果连“全体”这一概念都不存在，又怎么能把“任一”当作并不存在的“全体”呢？

引理2由部分自然数组成的集合也可以是无限集合。

这个并不需要证明。比如说奇数和偶数都只是部分自然数，但它们都是无限集合。

既然不存在由全体自然数组成的集合，当然就只存在由部分自然数组成的自然数集合，而仅仅由部分自然数组成的自然数集合不可能永远是一样的，这就证明了

定理 自然数集合不是唯一的。

由此，即可证明zmn1015 的所有命题，同时证明了zmn1020的所有观点都是错的。

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薛问天虽然一直以数学专家自居教训别人，但是有时候说出来的话连最基本的数学常识都没有。比如说他有一次竟然问我，如果无限集合的外延是变化的，必须用变量表示，变量怎么比较大小？

变量无法比较大小？比如说任何条件下x>y都没有意义？这是一个正常的数学工作者应该说出来的话吗？

除了缺乏数学常识外，薛问天似乎连证明都看不懂。否则怎么可能敢于随意否认别人已经严格证明了的命题？

看懂别人的证明，只不过理工科学者是最基本的基本功，所以我一直怀疑薛问天根本就不是理工科毕业的，而是半文半理的比如数学史，数学哲学之类专业毕业的。

由于他看不懂证明，所以就无法从逻辑上判断对错，只好根据书本知识和历史发展的轨迹来判断别人的对错，凡是和书本知识和历史发展的轨迹不一样的，一律是“错的”，“严重错误”或“错上加错”，似乎只要他大笔一挥，就可以定别人的“生死”，就他这连证明都看不懂的水平，有这个资格吗？

有时，连一清二楚的事实他也要反对。

各种认识上的分歧其实还是次要的，我与薛问天根本的分歧还是思想方法的不同。在我的几十年学术生涯中，最大的收获是每一句话都要经得起推敲，要符合充足理由律，尤其是数学证明，每一步都必须像十进制的1+1=2那样一清二楚，绝不可以有半点含糊，也不可以不加以证明而引入任何未必可靠的假设和猜想。我的文章都是这样写的。薛问天却完全不同:由于他根本就看不懂证明，所以根本就无法从逻辑上判断对错。

更严重的是，薛问天不但完全没有严格的思维能力，而且连什么叫自相矛盾都不懂，因此思维经常极其混乱。即使再明显的自相矛盾，他也会认为理所当然，似乎只要大喊“这不是矛盾”，矛盾就会消失了。

比如说，他一边说自然数集合加1的过程是永远不能完成的，一边又大言不惭地说如果加1的过程可以完成就怎么样怎么样。请问，既然不能完成，哪里会存在已经完成后才出现的东西呢？这不是再明显不过的自相矛盾吗？类似的例子还有很多，比方说旅馆既客满又不客滿不是矛盾，无限集合既与它自身的大小相同(这是对的)又与其真子集的大小相同(这是错的)也不是矛盾……

如果自相矛盾的东西都可以共存于一个理论内，那世界上还有什么歪理邪说是错的呢？

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