Zmn-1022 薛问天 : 关键是把不同的微分当作相同的微分而犯的错误。评师教民的《1021》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1021》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关键是把不同的微分当作相同的微分而犯的错误。

评师教民的《1021》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

师教民先生的这个错误很简单，就是把不同的微分当作是相同的微分了，所以犯了错误。

师教民先生说【如果薛问天先生认为我的上述推导错误，请薛问天先生说明错在哪一步或哪一行？并且说明错误的理由是什么？】

好吧，我就具体指出。错在师教民先生文中的下述四段话。

①【由x1=g (y)及微分的定义知，dx1=g′ (y)dy，

由x2=g (y)及微分的定义知，dx2=g′ (y)dy，

由x=g (y)及微分的定义知，dx=g′(y)dy，

因为dx1，dx2，dx都等于g′ (y)dy，所以

dx1=dx2=dx．                  (3)】

在①这段叙述中，微分dx1=dx2=dx指的是编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分。

②【据第二代微积分或极限理论中的y=f (x)的自变量的微分定义知：

dx=dx1=Δx1=Δx，即dx =Δx．】

在②这段叙述中，证明dx =Δx的微分dx=dx1指的是编号为1的函数y=f (x)的自变量的微分。

③【据第二代微积分或极限理论中的x=g (y)的因变量的微分定义知：

dx=dx2=Δx2-o(Δy2)=Δx-o(Δy)≠Δx，即dx≠Δx．】

显然这里③证明的dx≠Δx的微分dx=dx2，指的是编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分。

④【这就形成dx≠Δx和dx=Δx的矛盾，证实了规定dx= Δx的错误．】

既然②证明dx =Δx的微分dx=dx1指的是编号为1的函数y=f (x)的自变量的微分，③证明的dx≠Δx的dx=dx2，指的是编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分。这是两个不同的微分，一个等于Δx，一个不等于Δx，这有什么矛盾。所以师先生的这个结论是错误的。在微积分中规定函数y=f (x)的自变量的微分dx=Δx，即【第二代微积分或极限理论规定函数y=f (x)的自变量x的微分dx等于该函数y=f (x)的自变量x的增量Δx且Δx不必为无穷小量】，没有任何错误！

师先生的错误在于把不同的微分当作相同的微分了。微分不仅同变量有关，最重要的是同函数有关，以及同该变量是函数的因变量还是自变量有关。我们知道对于函数y=f(x)，有微分dy=f´(x)dx，这里的dy称为函数f的因变量微分，dx称为函数f的自变量微分。函数x=g(y)，有微分dx=g´(y)dy。这里的dx称为函数g的因变量微分，dy称为函数g的自变量微分。虽然上述的两个dx都用同样的dx表示，但是是两个不同的微分。虽然上述的两个dy都用同样的dy表示，但是是两个不同的微分。为了表示区别，我们把f称为编号为1函数，把函数f的因变量微分记作dy1，函数f的自变量微分记作dx1。我们把g称为编号为2函数，把函数g的因变量微分记作dx2，函数g的自变量微分记作dy2。这样就不会含混了。其中的dx1=Δx，dx2≠Δx，自然没有任何矛盾。

注意这里dx1，dx2的1，2指的是函数不是变量。师先生在文中把编号为2的函数x=g(y)写成x1=g(y)，然后说【由x1=g(y)及微分的定义知，dx1=g′(y)dy，】从而把编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分写成dx1，这是同我们通常的表示不同的地方。即在这里，也是师先生发生混乱的一个原因。

这个问题我们早在5年前就已说清楚了，不知师先生怎么到现在还在纠缠。请看原文。

• Zmn-013 薛问天：这是不同的「微分」变量  2018-7-7 19:06

• zmn-012 薛问天：解开微分迷团 2018-7-7 16:14

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