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Zmn-0683 薛问天：评林益先生对序数理解的错误，评《0681》

已有 1157 次阅读 2021-9-26 18:51 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0683 薛问天：评林益先生对序数理解的错误，评《0681》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生《Zmn-0681》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

评林益先生对序数理解的错误，

评《0681》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 我估计林益先生由于沒有系统地学习集合论课程的专业教材。他的关于序数的理解和叙述有不少错误需要纠正。

1，例如林益先生说【对于一个集合而言，序数是每一个元素的独有特征，一个元素只能有一个序数，不同的元素必然有不同的序数；】是错的。

我们知道，通常讲自然数时，常说自然数有两个作用，一个是【个数作用】，如说某集合的对象有1个，2个，...，n个，...。一个是【序数作用】，如说某个有序集合的对象是第1个，第2个，...，第n个，...。指明集合中每个元素所独有的排序特征。

要知道康托尔引入的【序数】，是这个概念的推广，但是己经远远超出这个意思了，【序数】已经不是用来直接标注笫1笫2这种【每一个元素的独有特征】了。而是用來标注良序集合的序型。正确的理解和说法是，序数是一个数系，它是自然数的扩展。它是用來表达【良序集的序型】的。两个良序集的序型相同当且仅当它们之间存在保序的一一对应(也称为相似)。每个序数α都是一个具体的良序集合，称集合A的序型是α，当且仅当A同α具有相同的序型。集合中每个元素的排序特征是通过同序数这个集合的保序一一对应获得的。不能说【序数是每一个元素的独有特征，一个元素只能有一个序数，不同的元素必然有不同的序数；】而是每个良序集，都有一个序数表示它的序型。序数相同的良序集的序型相同，序数不同的良序集它们的序型不同。

2，再例如，林益先生说【虽然有时序数的数值可能与基数的数值相等，但是它们的含义绝对不同，不能互相替代。因此用序数来定义基数绝对是不妥的，违反逻辑的同一律规则。因此在介绍的三种基数定义中，凡是涉及用序数直接定义基数都存在一定概念上的问题。】

林益先生说的这段话也说错了。任何集合都有它确定的基数，任何良序集，都有表达它序型的确定的序数。基数和序数是两个概念不同的数系。但是它们却有相当密切的关系。能把基数定义为满足一定条件的序数，当然是有根据的。并无任何不妥，也不违犯任何逻辑规律。更不存在什么概念上的问题。

我们知道每个序数都是所有比它小的序数构成的集合。任何两个序数都可用是否存在一一对应的双射來确定是否等势，以及比较势的大小。再根据良序定理，任何一个集合都存在与其等势的良序集，这就说明了任何一个集合都存在有序数与其等势。保证了全部基数都会作为序数的基数。从而决定了可以用相互等势的序数來表示基数，再根据序数本身的良序性，任何序数集合都有最小序数，就可用相互等势的序数集合中的最小序数來定义基数。

3，林益先生说【任何集合的序数都是从 1 开始的，最后确定最大序数，因此基数都与最大序数有关，对于有限集，虽然基数与最大序数相等，也不能认为最大序数就是基数。】这句话也是错的。

我们知道任何序数都是小于该序数的所有序数的集合，此集合从0开始，但不一定有最大序数。例如序数ω={0,1,2,...}，此集合就无最大序数。林益先生说什么【基数都与最大序数有关，】及【最大序数就是基数。】这些都是对基数定义的误读。

我们知道基数定义为等势序数集合中的最小序数(或等价地说凡比此序数小的序数的势都比此序数的势小)，这是根据序数是良序集，任何序数的集合都存在有最小序数这个特性决定的。序数的集合并不一定存在最大序数，基数的定义并不涉及【最大序数】这个概念，更没有【最大序数就是基数】这样的定义。

N4，林益先生这样描述序数的第三生成法则:

【如果最大序数小于ω，就称为有限序型，如果最大序数大于等于ω而小于ω^ω 就称为可数序型，如果最大序数大于等于 ω^ω而小于 ω^ω^ω就称为不可数序型，以此类推，就得到超穷数序型数列...】。

这些论断统统都是错的。刚才讲了【最大序数】这个词不能随意用，有些序数集合就无【最大序数】。有限，可数的判定不是根据什么【最大序数】，而是根据一一对应。凡是能同某自然数代表的集合一一对应的集合，称为有限集合。凡是能同全体自然数集合一一对应的集合，称为可数无穷集合。其它集合称为不可数无穷集合。因而序数就根据它表示的集合是有限，可数无穷，和不可数无穷，称呼其为有限序数，可数超限序数和不可数超限序数。

序数本身有大小顺序，凡小于ω的序数是有限序数，凡大于等于 ω而且同ω等势的序数是可数超限序数，凡大于所有可数超限序数的序数是不可数超限序数。林益先生列举的大于等于 ω^ω而小于 ω^ω^ω的序数，它们全是可数超限序数，不是不可数的超限序数。林益先生对不可数的超限序数以及对序数的幂集运算，尚需有新的了解和认识。

看了林益先生对学习境界的思考。我认为最基本的还是要重视对专业知识的学习。强调刻苦学习，札实学习。学深、学懂、学透。例如学习集合论，如果没上过有关课程，就要自学这门课程的正式专业教材。要认识到学习的重要性。理论创新和批判精神当然很重要，但你首先得学习，得先了解人家是怎么讲的，怎么说的，为计么这么说。然后再分析他讲得对不对。如果把人家怎么讲的都没搞清，所谓的思考和批判肯定都是空对空。

参考文献

Zmn-0681 林益：读《基数的定义》有感

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录