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Zmn-0576 李振华：无限集的几何基数，算术基数。自然数集的基数大于[0,1]的？重磅

已有 1976 次阅读 2021-6-13 08:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0576 李振华：无限集的几何基数，算术基数。自然数集的基数大于[0,1]的？重磅

【编者按。下面是李振华先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

无限集的几何基数，算术基数。

自然数集的基数大于[0,1]的？重磅

李振华

我们今天来推广基数的观念，并由此得出一些令人吃惊的结论。讨论会在广义集合论的框架下进行。读者最好先理解我以前讲的内容。

就像标题所看到的那样，自然数集的基数大于[0,1]的，这具有颠覆性，但这却是严密定义和推理的结果。下面我们就来看看这到底是这么一回事。

基本定义：

a:x元素a的重数是x。

A+B:{1,2,3,4}+{3,4,5,6}=(1,2,3,3,4,4,5,6}

A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}

减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。

自然数集合定义：n={0:n}。

基数对应公理：集合的运算对应基数的运算。

先谈谈集合运算的情况。

集合和数一样，0={}和1={0}都是单位元。

就目前我的经验来说，集合的运算，还没有发现交换律和分配律不成立的情况，而结合律有可能不成立，如果结合律总是成立就会把一些集合排除在外（当然，这些集合是非常规的）、之所以会出现这样的情况，就在于乘法逆元不唯一，逆元可能有无穷多个，这是由集合和无限的特性所决定的，集合世界就是这样无限复杂充满不确定性，数中逆元唯一是因为系统太简单。在集合运算中，消去律不一定成立，除以一个数也并不总是等于乘以这个数的倒数。下面我们来看看一些具体的例子。

考虑整数集，这是一个双向均匀离散无限集合，这些特点使它乘以{-n},{n}会保持不动，乘以{0,1:-1}会成为空集，{0,1:-1}是{0,1,2,3,4,....}的倒数，而整数集除以{0,1,2,3,4,....}并不是空集，而是一个非常规集合。如果读者有兴趣，可以试求这个非常规集？不存在也许更自然。

无限集合的几何基数和算术基数。

我们要把欧拉《无穷小分析引论》中关于无限的观点引入到比较无限集大小之中，不是我们崇拜欧拉，而是因为欧拉本身的观点就很有价值，集合理论的发展要求我们必须这样做。

康托基于一一对应的观念，定义了超限基数和超限序数，描绘了一幅无限王国的图景。在广义集合论中，我们会基于集合的运算，引入几何基数和算术基数，这描绘了无限王国的另一幅图景。如果说康托的集合论是逻辑主义的，那么，广义集合论是代数主义的。

下面开始定义这两个基数：

|A|,|B|>0。

集合A，B，如果|A/B|=1，称A和B的几何基数相等。如果|A/B|>1，称A的几何基数大于B的，如果|A/B|<1，称A的几何基数小于B的。

集合A，B，如果|A-B|=0，称A和B的算术基数相等。如果|A-B|>0，称A的算术基数大于B的，如果|A-B|<0，称A的算术基数小于B的。

对几何基数来说，2*无限>无限，无限+1=无限，而对算术基数来说，2*无限>无限，无限+1>无限。算术基数是最彻底的整体大于部分。通常我们还认为，如果A的几何基数大于B，那么A的算术基数一定比B多出无穷多个元素。下面来看看例子：

{1,2,3,...}/{0,1,2,3,...}={1}。{0,1,2,3,...}/{1,2,3,...}={-1}。几何基数相等。

{1,2,3,...}-{0,1,2,3,...}=-1。{0,1,2,3,...}-{1,2,3,...}=1。算术基数不相等。

{1,2,3,...}/{2,4,6,...}={0,-1}。{1,2,3,...}-{2,4,6,...}={1,3,5,...}。这就是说，无论是几何层面还是算术层面，正整数集都大于正偶数集合。

无限集合也具有整体大于部分的性质，如何比较无限集的大小？这里给出了完美的答案，它甚至不要求一个集合是另一个集合的真子集。

无限-无限在广义集合中的表现。

考虑集合{0,1,2,3,...n,...}，减去自己基数是0，减去右移1个单位的自己，基数是1，减去右移1/2个单位的自己，基数是1/2。{0,1,2,3,...}-{0.5,1.5,2.5,....}=1/{0,0.5}。右移的长度和操作之后集合的基数息息相关。我们大胆推测，集合减去右移x个单位的自己，基数是x。事实也确实如此。|{0,1,2,3,....}-{x,x+1,x+2,.....}|=x。

在这些集合中，我们不能用一一对应比较它们的基数，但是我们都能比较它们的基数。一一对应有它的适用范围，统治这里的是集合的运算而不是一一对应。

求集合方程X*{0,1,2,3,...,n)={0,1,2,3,...,n-1}的解。

经计算，得X={0，n+1,2n+2,3n+3,....}-{n,2n+1,3n+2,.....}。|{0，n+1,2n+2,3n+3,....}-{n,2n+1,3n+2,.....}|=n/(n+1)。

对于区间[0,x)，[0,y)，有|[0,x)/[0,y)|=x/y。我们的直觉不就是这样认为的吗？线段越长，点数就越多，为什么要认为这是错误的呢，为什么一定要反直觉呢？只是标准不同罢了。在广义集合伦中，我们证明了这个直觉。

求集合方程。X*[0,1)=[0,2)。解得X={0,1}。

设|A|=3,|B|=4，B*[0,3/4)=A*[0,1)，求A，B。

[0,3/4)/[0,1)={0,1,2,3,4,....}-{3/4,3/4+1,3/4+2,3/4+3,....}={0,1/4,1/2}/{0,1/4,1/2,3/4}

A={0,1/4,1/2}，B={0,1/4,1/2,3/4}。

好了，上面就是我所展示的一些有趣结果。

接下来，我们来处理标题提到的那个反直觉的惊人结论。

我们来比较[0,1]和{0,1,2,3,4,....}的几何基数。你猜猜结果会是什么？在一一对应的熏陶之中，你理所当然地认为结果应该是无限大，因为[0,1]的基数不可数比{0,1,2,3,...}可数多得多。事实呢？

[0,1]/{0,1,2,3,....}=[0,1]*{0,1:-1}=[0,1)-(1,2]。[0,1)对称于(1,2]，根据对称性，直觉上[0,1)-(1,2]的基数应该是0。但这不严密，最好的办法是找个无限集合A，证明|([0,1)-(1,2])*A|的基数为0，从而[0,1)-(1,2]的基数必定为0。A是存在的。

这说明，[0,1]和自然数集相比是无穷小，无论是几何基数还是算术基数，自然数集都大于[0,1]。由于[0,1]的长度是1，那么自然数集合的长度必定是无限大。

[0,1]虽然连续但有界，{0,1,2,3,....}虽然不连续但无界。无界的离散无限远远强于有界的连续无限，

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