【谨以此文，献给东坡先生。 】

（5）

      小河的河水诶，

      流过了东边的坡坡嘛，

      浸到了西边山上的月亮，

      子子弟弟的小伙子咧

      要找哪个样的婆娘？

                                 ————云南民歌

用等高线（Contour lines，http://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line）表示山岭丘地的高度变化，是常用的地形表示方法。（图1）

在二维平面上我们可以画出某处地形-比如东边的坡坡-的等高线，这些等高线所表示的地形高度变化，当然可以表达为以一个平面直角坐标系xy中的x和y为自变量的函数Height_of_East_Slope（x,y）,我们简称其为Height。这个函数，在xy平面上连续地分布，我们称之为势（http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_potential）。含义非常直观：水总是”避高而趋下“，正是有了”势“，高处的水才处在了向低处流的势态。

图1 等高线示意（http://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line）

如果，我们站在某条等高线上的某个位置，寻找上升到或者下降到一个高度的最快的办法，我们自然会沿最陡峭的方向前进。而这个最陡峭方向和其陡峭程度，我们可以用矢量表示如下：

                          $\textbf{Grad_of_the_Height_of_East_Slope}=\dfrac{\Delta Height}{\Delta x}\textbf{i}+\dfrac{\Delta Height}{\Delta y}\textbf{j}$   （1）

公式中，$\Delta Height$表示两条邻近的等高线的高度差，而$\Delta x,\Delta y$表示上升或者下降一个高度差，相对应的x和y方向上的位置变化量，而i和j则是代表x和y坐标的方向矢量（其方向为x,y坐标的正方向，而其长度为1）。而Grad of the Height of East Slope则为一个矢量，其方向合成如公式（1），其大小表示陡直程度，可以计算如下：

                         $|\textbf{Grad_of_the_Height_of_East_Slope}|=\sqrt{(\dfrac{\Delta Height}{\Delta x})^2+(\dfrac{\Delta Height}{\Delta y})^2}$ (2)

可以证明，如果我们将尺度缩小，你所攀爬的位置可以近似看为一个平面的时候，这个最陡峭的方向，一定是垂直于等高线的。进而言之，运用矢量运算，你非常容易证明，公式（1）的结果，就是与等高线垂直的地方。

如果，我是水，我将沿着最陡的地方流下来，也就是沿着与等高线垂直的地方下滑。

不错，我们会将每个位置最陡的方向和陡直程度计算出来，谓之求取“梯度”（Gradient，http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient）。

     如果，我们描述的“等高线”或者“势”并不是只有两个维度的自变量，而是三个，（比如西山的月亮真的是浸到河水里，月光在水里散开来，那么在水中散开的月光将分布在三维的空间。）那么，求取“梯度”的过程，将针对三个维度的空间（图2）：

          $\textbf{Grad_of_Scatting_of_West_Moon}=\dfrac{\delta Scatting}{\delta x}\textbf{i}+\dfrac{\delta Scatting}{\delta y}\textbf{j}+\dfrac{\delta Scatting}{\delta z}\textbf{k}$   （3）

这里大写的$\Delta$变成了小写的$\delta$，表示我们已经求了极限，使x，y，z方向上变化的量趋于无穷小。而$\dfrac{\delta Scatting}{\delta x}$则谓之Scatting对x的偏微分，表示仅仅变化x引起的Scatting的变化，与x变化量的比率。余下Scatting与y和z的关系也是如此。

图2 三维的等高线（我们应该更准确地称之为“等值面”或者”等势面“，如动画的黄色或红色所示面）和梯度（如蓝色箭头所示，箭头的指向代表了梯度的方向，而箭头的大小则代表了梯度的大小）。动画从不同角度展示了一个三维的“势”的等势面和梯度。

     为简便计，对于三维的情况，我们将梯度求取的运算用符号$\bigtriangledown$表示,则有：

              $\bigtriangledown (Scatting)=\dfrac{\delta Scatting}{\delta x}\textbf{i}+\dfrac{\delta Scatting}{\delta y}\textbf{j}+\dfrac{\delta Scatting}{\delta z}\textbf{k}$     (4)

     所以，我们将$\bigtriangledown$当作一个操作符（算符、算子，operater），即表示如下运算：

                $\bigtriangledown =\dfrac{\delta }{\delta x}\textbf{i}+\dfrac{\delta }{\delta y}\textbf{j}+\dfrac{\delta }{\delta z}\textbf{k}$     (5)

     使用算符表示的好处，在后面的论述中，我们将会看到。

     顺便说一下令人疑惑的”场“的概念。

     广义而言，“场”是指某个在空间乃至时间山上连续分布的物理量。比如某种“势”，我们可以称为“势场”，有“重力势场“，”电势场“等等说法。如果这个连续分布的物理量是标量，我们称为标量场，比如”重力势场“就是标量场，而很容易理解，重力场就该是矢量场了。

     但是，当我们回顾从牛顿到麦克斯韦的建立场的概念的历史（http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)），狭义地讲，我们所谓“场”（field），是指某种“力”的作用在空间的具体分布，它一定是矢量。因此，狭义地讲，只有我们前面谈到的梯度，才能算是场，而“势”则不算。从这个直观的理解出发，我们就容易理解，观水势，而知水的流场，再知水的流动；观电势，而知电场，再知电荷的流动，如此等等。建立“势”与“场”的直观概念，依然能让我们更有针对具体物理问题的“形象”感，不至于在使用场论的工具的时候，找不着北 。

     （当然，有的时候，我们观察不到某个”矢量场“的”势“，那么我们怎么办？很简单，我们为它建一个。实际上，真的在建”势“的时候，我们会发现，并不是任何矢量场都有标量的”势“。我们会称那些可以建标量的”势“的”矢量场“为”保守场“；而有的场可以建”矢量势“；有具有的连续分布的矢量函数，既建不了标量势，也建不了矢量势，我们干脆就说这个函数不是”力场“。可以具体请参看http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_force）

（6）

      如果，你是个水管工，请问你如何寻找一段水管是否有漏水点，或者有暗藏的进水点呢？不错，你有一个笨办法：看看这段水管的进水口和出水口的进出水量是否一致。如果一致，谢天谢地，看来这段水管既没多的进水，也没漏水。

     高斯就采用了这个笨办法（实际上这个笨办法，Stocks和Green也用过，见http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem ，http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law）。作为一个水管工，高斯建立了高斯定律，如下：

                                                    （6）

其中$\Phi_{E}$代表经过空间某个区域的总流量。而S则是指封闭此区域整个空间的表面，其上面的每个小面元我们用$d \textbf{A}$表示，采用黑体，是表示每个小面元都用矢量表示（一般如果整个区域形状是球、椭球、正方体，长方体等等，那么表示这个小面元的矢量的方向朝向这些形状的外部，并且与这个小面元垂直），而E则是流体在某个局部，通过与其流动方向垂直的单位面积的流量，所以统计一个面元$d \textbf{A}$的流量，当然就是$\textbf{E} \cdot d \textbf{A}$；将之和起来，在封闭表面S上求积分，就可以算出$\Phi_{E}$。通过这个总流量的求取，就可以看出这个区域内是否有进水点或者出水点了。

如何能察觉每个位置是否有的出水点呢？很简单，将这个区域缩小至无穷小，并且看看这个缩小了的区域的流量和区域的体积之比的极限就可以了，这个结果称为场E的“散度”。（http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem）极限求取的方法和求取梯度类似，有兴趣的读者可以自己试一下，其结果为：

                $Div(\textbf(E))=\bigtriangledown \cdot \textbf{E}$            (7)

     因此，我们易得如下结果：

                 $\iiint_{V} \bigtriangledown \cdot \textbf{E} dv=\oint_{S} \textbf{E} \cdot d\textbf{A}$        (8)

其中，V是指一个区域的体积，而S为此区域的表面。

     所谓一个“场”的“散度”，实际上场中某点是否是“出水点”或者“进水点”，我们谓之“漏”或“源”。（（http://en.wikipedia.org/wiki/Current_sources_and_sinks））

（7）

      对一个标量“势”求梯度，可以求其“力场”，再对“力场”求其散度，可以获得“漏”与“源”。

      而“力场”的直观表述来自于“力线”（http://en.wikipedia.org/wiki/Line_of_force）,比如磁力线，电力线。

力线的提出者，“场”的概念的最早明确者，是连“野民科”都算不上的英国科学家Faraday（http://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday）。因此，在图3中，我们展示了势、力场和“漏”与“源”的形象，以便向Faraday致敬。

图3  力线与场：左图通过铁屑展示了两个磁铁的磁力线，也就展示了”磁力场“，而“N”和“S可以看做是“漏”与“源”，虽然我们知道，由于无法证实存在磁单极，所以将N和S当做“漏”与“源”并不正确。右图则通过展示太阳和地球形成的重力场的重力势，以及受太阳和地球影响的吸引力的小天体维持和地球同周期运动所需的向心力所形成的等效势场，来表现太阳和地球的五个拉格朗日点。（图片来自http://en.wikipedia.org/wiki/Field_Lines）

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附1：

明月几时有

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附2：

老曹，飞鹏兄，瞧瞧动画，就知道你们多么out。