1.曲线运动有几种坐标系?

本文只针对二维情况，曲线运动一般有三种不同的坐标系，分别是：直角坐标系、极坐标系和自然坐标系。

2. 矢量在直角坐标系中的求导

直角坐标系中单位矢量方向为x、y增加的方向。一般用i、j表示。不管物体如何运动，单位矢量的微元方向都不变，所以求导很方便，但处理圆周运动、有心力问题时r、v、a均有两个分量，而且对运动过程的描述不够直观。

3. 矢量在极坐标系的求导

极坐标系中单位矢量方向为r、θ增加的方向，可以用e_r、e_θ表示。物体运动时，不同的点，e_r、e_θ的方向不一定相同，他们的微元与他们本身是垂直的。对于初学者来说，这是一个难点。可以用三角函数^[1]来解释，把单位矢量在直角坐标系中分解：

如果想更直观^[2]，可以从图形上来解释：

那么，矢量对时间求导就会比较复杂^[3]：

虽然r矢量只有一个为正的分量，但由于单位矢量对时间求导不为0，所以从r出发推导a时比较麻烦，而且对运动过程的描述也不够直观。处理有心力问题时，v和a都有可能有两个分量。a的e_θ分量为0时，不知道能不能分析出一个定理。另外，这里只分析了物体逆时针运动的情况。如果物体顺时针运动，有两种处理方法：1.认为θ增加的方向是顺时针，确保dθ为正；2.认为θ增加的方向是逆时针，dθ可正可负。个人认为第1种方法更好一些，因为后面会用到。

4. 矢量在自然坐标系中的求导

与前面两个坐标系不同，自然坐标系中单位矢量的方向并非意味着某个量的增加，而是与运动轨道有关，一般称为切向和法向，可以用e_t、e_n表示。在圆周运动中，e_n与e_r反向，e_t与e_θ同向，但这个“同向”不一定是逆时针。物体运动时，不同的点，e_t的方向不一定相同，他的微元与他本身是垂直的。

可以用三角函数来解释，把单位矢量在直角坐标系中分解：

在上式中，dθ永远为正，如果想更直观，可以从图形上来解释。在这里，θ增加的方向类似极坐标系里的e_θ的方向，但不一定是逆时针。

在自然坐标系下，速度矢量的导数比极坐标系更简单：

v矢量只有一个为正的分量，a也只有两个分量，处理曲线运动时，能将力分解成两个分量，一个改变速度的大小，一个改变速度的方向。物理过程清晰直观。式中ρ是曲线轨道的曲率半径，如果运动轨道不是圆，使用自然坐标系时，意味着轨道上的每一点都有一个独立的极坐标系。

扩展：

自然坐标系还有很多名称，如^[4]內禀坐标系、本性坐标系、路径坐标系等，不过既然速度只有一个分量，理解成“速度坐标系”或许更恰当。如果是三维情况，直角坐标系变化不大，极坐标系可能会变成球坐标系(多一个θ)或柱坐标系(多一个r)，自然坐标系会因为轨道上任意一点都能找到一个与轨道垂直的平面，所以会多一个e_n。求导难度较高，动态图也更难想象，一般还是会用单位矢量的直角坐标系分量来求导吧。目前这些内容对我来说只剩下讲课、解题和激发动画创作灵感的作用了。

这些内容的重要性肯定还是有的，但在费曼物理学讲义和赵凯华的新概念物理里并没有详细介绍单位矢量的导数，而是从ds的角度分析的。s和r终究是两个概念，虽然ds=dr。

文中的物理量用绿色表示存在于极坐标系，用蓝色表示存在于自然坐标系。但在动画中没有区分坐标系，而是用蓝色+黄色=绿色来表示矢量求和。一方面是因为不想用超过四种颜色，另一方面是因为我现在越来越讨厌红色了。

参考文献：

[1]数学补充[EB/OL].

http://www.docin.com/p-552494532.html,2012.12.13

[2]马文蔚.物理学.第六版上册[M].北京：高等教育出版社，2016.14-17

[3]力学_舒幼生_第一章质点运动学[EB/OL].

http://www.docin.com/p-562192419.html?docfrom=rrela,2012.12.24

[4]杨维紘.中科大力学教案-第一章质点运动学[EB/OL].

http://www.docin.com/p-481002556.html，2012.09.14

============修改于2018.3.13

如果想看gif的某张静态图，可以用手机截屏，或者在电脑上登录qq，然后按Ctrl+Alt+A截图。

我去年上传的博文里的动画，今年上课也用到了：坐标系的几个动画

动画使用的软件是几何画板：软件网址 和扣扣视频秀：软件网址