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走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（六：终结篇）
精选
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------三维流形中一个划时代证明的故事
作者：Erica Klarreich 发表：SimonsFoundation.Org 时间：2012年10月2日 翻译：杨文元
【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“Getting Into Shapes: From Hyperbolic Geometry to Cube Complexes and Back”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，以方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（一：总览）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（二：曲面研究）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅 （三：第三维）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（四：覆盖空间）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（五：构造曲面）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（六：终结篇）
隐藏的结构
对于试图证明几乎Haken猜想的数学家们来说, Kahn和Markovic的工作提供了一个出发点。
他们证明了每个流形保证含有一个不可压缩曲面。但是这样的曲面可能是自我交叉, 而不是嵌入的。如同前面六瓣花和三瓣花的例子一样, 为了从Kahn和Markovic的结果得到几乎Haken猜想, 数学家们需要找到一个原流形的有限覆盖空间使得不可压缩曲面可以提升为许多的不自我相交的曲面(尽管不同的提升可能会相交)。如果这样的覆盖空间可以找 到, 那么每一个提升将会是在该覆盖空间中是一个不可压缩的嵌入曲面。因而这意味着该覆盖是Haken的。
但是, 我们怎样才能确切地找到这样的覆盖呢?
“从Kahn和Markovic的结果到几乎Haken猜想之间有一个很大的缺口”, Dunfield说。”他们的发现尽管非常重要, 但在当时还不清楚他们的结果是否有助于寻找可嵌入的曲面”。
Kahn 和Markovic的工作引起了麦吉尔大学的Daniel Wise的注意。在某种意义下讲，Wise以前的职业生涯就是去弄清楚如何在有限覆盖空间上除去拓扑物体的自我相交性。他研究的对象是与三维流形看起来很 不相同的立方复形。但Kahn和Markovic的发现使得Wise可以来向其他数学家们证明这两个东西其实并不遥远。
一个立方复形顾名思义就是许多立方体组成的一个集合。当然这里的立方体不仅包含我们通常意义的三维立方体, 也包含任意维数的直角坐标系中所有坐标位于-1和+1的点构成的集合。比如说, 一个正方形是二维的立方体, 一条线段是一维的立方体。立方复形中的不同的立方体之间通过顶点, 边, 面或高维的面而相互连接。
立方复形有着非常不同于三维流形的结构---最基本的一点就是, 它们甚至都不是流形, 因为不同维数的立方体粘合处的部分与我们任意维数的空间都不一样。但是立方复形却提供了一个简化了的情境, 在这里我们可以研究在三维流形中的曲面的一个关键特征: 那就是曲面(至少局部地)把它周围的邻域一分为二。
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图9：左边的正方形有两个中分面（红色和绿色的线）。一个立方体有三个中分面（红色，蓝色和绿色的正方形） |
如果你研究的是那些把一个物体一分为二的对象, 那么从立方体出发就是一个很自然的选择, 因为在所有可能的形状中, 立方体中含有这样的最简单的例子: 从立方体中间一分为二的中分面。一个正方形有两个中分面, 分别是把正方形一分为二的竖向线段和横向线段。图9显示一个立方体有3个中分面。一个n维的立方体有n个中分面, 所有这些中分面相交于该立方体的中心点。
“中分面与三维流形中的曲面很相似, 但他们却比曲面更容易辨认出来”, Wise这样解释道。”寻找曲面是一般比较困难的, 但是你却可以从简单的中分面开始”。如果你从立方复形中的一个立方体中的某个中分面开始, 那么你就只有唯一的方式把该中分面延展到相邻的立方体中的中分面去; 同理, 这些中分面进而也只有唯一的方式继续延展到相邻的立方体中去。因此, 给定立方复形中的一个中分面, 我们有唯一的一种方式把它延展成为整个立方复形的中分面。
立方复形的中分面唯一扩展性使得它显著区别于三维流形, 因为三维流形中的曲面的一个小区域有大量不同的方式延展成为一个完整的曲面。立方复形和他们的中分面有很好的”刚性”, 而没有三维流形和其中的曲面的那种柔和的”不确定性”, Agol这样概括他们的特征。
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图10：最右边的正方形的红色中分面唯一地延展成整个立方复形中的一个中分面。 |
当我们在立方复形中延拓一个中分面的时候, 这个中分面可能会延拓回到出发的立方体中, 并且要继续要延展的中分面与初始的中分面是相互正交的(如图11所示)。换句话说, 延展得到的中分面可能不是嵌入的。如同三维流形中的曲面一样, 我们也可以提出一个立方复形版本的几乎Haken的问题: 立方复形是否有一个有限的覆盖使得自我相交的中分面提升为嵌入的中分面。
几年前, Wise和法国巴黎南大学的Frédéric Haglund定义了一类具有很好的性质的”特殊“的 立方复形, 比如他们只能有含有嵌入的中分面等。在过去的10年里, Wise发展了一整套强有力的工具来弄清楚什么样的立方复形是特殊的。Wise于2009年向小范围的数学家们散发了一部200页长的论文， Dunfield用”经典之作”来形容它的重要性。在这篇论文中, Wise详细地描述了他关于特殊立方复形的大量发现。比如所谓的组合定理, 它是去描述如何粘合两个特殊的立方复形来得到一个新的立方复形, 并使得它是几乎特殊的。Wise在该论文中提出了如下的猜想: 大致上说, 任何的立方复形如果它的几何类似于双曲几何的话, 那么该立方复形就是几乎特殊的, 即存在一个有限覆盖是特殊的。这个命题被称之为Wise猜想。
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图11：当我们在左上角的正方形中延展红色的水平中分面通过其他正方形时，你就会看到它最后会返回到左上角的正方形中而自我相交。 |
Wise确信如果一个物体与立方体有某种相似的话, 或者准确说是可以被”立方复形化”的话, 那么对应的立方复形的结构将会解开原来物体的许多性质。
“立方复形过去一直是一个人们从没想要去探寻的秘密”, 他说。”现在立方复形结构已经成为了一个基本的隐藏在事物中的本质结构”。
“立方体”支架
Wise在变得疯狂地迷恋于立方复形化各种物体时, 他的数学家朋友开始还讥笑他的这种偏执。
在 Kahn和Markovic证明了不可压缩曲面定理后, Wise和Bergeron立即发表了一篇论文证明了紧致三维流形中不可压缩曲面的存在性提供了一个方式去立方复形化该三维流形。而且他们证明了三维流形 中的这些不可压缩曲面与所对应的立方复形中的中分面是一一对应的。
Wise 和Bergeron构造的关键一步是利用由Kahn和Markovic的方法不仅产生一个而是数量众多的曲面这一事实。利用以色列海法大学的Michah Sageev于2003年(译者注: 此处原文有误, 应是1995年)提出的先驱性的立方复形化的工作, Wise和Bergeron从大量的Kahn-Markovic的曲面出发去把三维流形分割成一个个紧的多面体, 从而立方复形化了该三维流形。
现在我们来考虑这些曲面相交处的某一点, 不妨假设有n个曲面交于这一点。 Sageev观察到我们可以将该交点看做是一个立方体的n个中分面交点的投影。因此与该三维流形相应的立方复形就可以通过在每n个曲面相交的一点处放置一 个n维的立方体(实际上的构造要更微妙一些, 从而来处理各种的拓扑的难点)。立方复形中的两个立方体是相邻的当且仅当在三维流形中他们对应的曲面交点由一个多面体的面而相彼此关联。
“立方复形因而准确地记录了曲面自身和与其他曲面的相交关系”, Dunfield这样解释说。
Wise 和Bergeron证明了该立方复形是同伦等价于原拓扑流形, 这意味着该立方复形可以通过压扁和拉伸来减小和增加维数从而最终把立方复形转化成为原流形; 该过程反之亦成立。进一步地, 这个同伦等价也把三维流形中的曲面转化成为了立方复形中的一个对应的同伦等价的中分面。
如此构造的立方复形满足了Wise猜想的几何条件, 即如果Wise的猜想是正确的, 那么刚才构造的立方复形就有一个有限的覆盖使得其中的所有的中分面都是嵌入的。
假设这样的有限覆盖确实存在, 不妨说是一个m次的有限覆盖。这样的覆盖空间是先把立方复形以某种方式割开, 制作m个复制品, 然后把这些复制品再沿着割开的边界分别粘合起来而形成的。不难证明如下事实: 前面为双曲流形构造的立方复形的一个有限覆盖也会导致原三维流形的一个有限覆盖。这样在该三维流形的有限覆盖上, 曾用来构造立方复形的Kahn-Markovic曲面也就因而会提升为嵌入的曲面。简言之, 如果Wise的猜想是正确的, 那么几乎Haken猜想也将是正确的。
“这个交易是奇怪的: 你的立方复形可能是很庞大的, 比如有10000维, 因而在某个层面上, 你似乎把事情弄的更加糟糕”, Wise说。”但是尽管立方复形是如此庞大, 但是它的许多特征却是非常容易理解的。因此这个交易是值得的。与三维流形相比, 我们更喜欢一些虽然庞大但是组织良好的事物。”
尽管Wise和Bergeron成功地把立方复形和三维流形联系了起来, 大多数的三维拓扑学家们仍然对立方复形保持着距离。或许这是由于Wise的200页的论文令人畏缩, 或许由于立方复形是如此不同于他们已经习惯了的空间。
“这些想法对于熟悉双曲几何的人们却是很难理解的”, Bergeron这样说。但是有一位数学家即精通三维拓扑, 也同样游刃有余于使用抽象而组合的思考问题的方式---这些正是Wise的方法的重点所在。
“我认为Agol是唯一的很早意识到Wise的想法对于三维拓扑研究有着重要意义的三维拓扑学家”, Bergeron这样回顾。
Agol一头扎进Wise的经典之作, 并最终相信Wise的论文中所有支持Wise猜想的部分都是正确的。此前, Agol已经对几乎Haken猜想研究过了一段时间。他意识到Wise的方法, 把柔和的曲面转化成刚性的横截面, 正是他所需要的。
“立方复形提供了一个支脚架去构造所需要的有限覆盖”, 他说。为了建立一个Wise-Bergeron的立方复形的有限覆盖, Agol首先抽象地沿着横截面把该立方复形切割成了众多的积木块。然后他在这些积木块的面上指定了一种颜色, 并满足任何相交于一个顶点处的两个面有不同的颜色。接下来, Agol证明了如下结论: 大致上说, 存在一种方式把有限个积木块沿着相同颜色的面粘合起来, 同时保证这些面的两边的颜色也相同; 这样的话, 每一个延展得到的中分面就只有一种颜色。这样得到的立方复形是原来的立方复形的有限覆盖, 并且所有的中分面都是嵌入的, 因为任两个相交的中分面不同的颜色, 因而每一个中分面就不能自我相交。
在3月12日, Agol宣布了他已经证明了Wise的猜想, 因而也证明了几乎Haken猜想。
“这无疑是自从Perelman证明了几何化猜想以来最令人兴奋的消息”, Dunfield这样说。
这个消息在三维拓扑界不胫而走, 立方复形也忽然成为三维拓扑学家们谈论的一个共同话题。
“直到目前, 我仍然怀疑数学界是否充分认识到Wise工作的巨大威力”, Agol这样说道。”我认为我的结果会促使人们注意到他所做的突破性工作”。
Wise说数学家们现在正逐渐认识到这样的一个事实：”一旦你立方复形化了一个物体, 你将会解开该物体结构上的各种秘密”。
一个时代的终结
Agol 证明了Wise猜想事实是一石四鸟的: 它不仅证明了几乎Haken猜想, 也同时证明了Thurston的23个公开问题中其他三个长期未解决的问题。在他的出证明之前, 他和数学家们就已经证明了所有这三个问题---几乎纤维化猜想和另外两个三维双曲流形上更技术化的问题---都是Wise猜想的结论。
对于几乎纤维化猜想, 目的是去证明每个紧致的双曲三维流形有一个有限覆盖是在圆圈上纤维化的, 即该覆盖是通过粘合一个加厚的曲面的两端而成的。我们知道几乎Haken定理是说三维流形有一个Haken的有限覆盖---就是说, 该覆盖包含有一个嵌入的不可压缩曲面。如果你沿着该曲面割开这个Haken覆盖, 你将会得到一个看起来像加厚的曲面的东西, 但是其中蕴含的拓扑特征却是不明朗的。
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Ian Agol最近在韩国的大田 (图片: Sang-Hyun Kim) |
在2008年, Agol证明了一个双曲三维流形如果满足一个技术性条件, 那么它就是几乎纤维化的。 Calegari认为这项工作是一个突破性的进展。接下来的一年, Wise基于这一结果证明了所有的Haken流形是几乎纤维化的; 即存在一种方式去解开一个Haken流形来得到一个有限覆盖, 从而简化了复杂的拓扑性质, 得到一个简单的可纤维化的流形。因此, 如果一个流形是几乎Haken的, 那么它就必然是几乎纤维化的。
“我认为几乎所有的人都相信几乎Haken猜想应该是对的, 但是几乎纤维化猜想却似乎是不太可能被证明的”, Calegari这样说。”对于我, 从几乎Haken猜想得到几乎纤维化猜想是整个故事中最精彩激动人心的部分”。
证明了几乎纤维化猜想可能会促使“你认为三维流形是非常简单的, 因为在圆上纤维化的流形是简单的”, Minsky说。”但是我认为在圆上纤维化的流形从根本上并不简单---他们远比我们以前想象的微妙”。
即使这样, 几乎纤维化定理的确给出了一个简单又有指导性的一个程序去生成所有紧致的双曲三维流形: 首先拿一个加厚的曲面, 然后选择一种扭转方式去粘合里面的边界和外面的边界, 最后再折叠有限次。
“假设你想要一个双曲的三维流形, 我就会具体问你你想要什么类型的: 即什么样的扭转方式和折叠几次?”, Calegari这样说。”我们现在知道了通过这种方式我们将不会漏掉任何一个三维流形。”
尽管还是需要一段时间去彻底地检查Agol的证明, 但是大多数人还是很乐观地相信他的证明会经得住考验的。
“Ian Agol可不是一个等闲之辈”, Minsky如是说。
在Thurston的最后的问题还没有完全落下帷幕之际, 研究者们现在已经开始问后Thurston时代的三维拓扑领域将会如何。
数学家们一致认为他们将需要花很多的时间来弄清楚Wise的立方复形如何帮助其他的可立方复形化的物体的研究。但对于三维流形自身而言, 数学家们已经走到了一个时代的终结, Agol这样说, 当然同时这也是一个新的时代的开始。
“大多数的数学领域并没有一个宏大的纲领去指引一个领域的研究工作达二十年或三十年之久, 正如我们经历过的”, 他说。现在, 三维拓扑和几何可能变得和其他领域一样, 在没有一个宏观的指导性纲领下数学家们摸索着前进, 一样不断地取得研究进展。
“新一代的数学家们将会弄清楚接下来什么是重要的研究问题”, Agol说。
【全篇完】
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