走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅  （五：构造曲面）

------三维流形中一个划时代证明的故事

作者：Erica Klarreich 发表：SimonsFoundation.Org 时间：2012年10月2日 翻译：杨文元

【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“Getting Into Shapes: From Hyperbolic Geometry to Cube Complexes and Back”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，以方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。

【目录】
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（一：总览）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（二：曲面研究）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅 （三：第三维）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（四：覆盖空间）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（五：构造曲面）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（六：终结篇）

构造曲面

 

围 绕着几乎Haken猜想的迷雾在2009年开始逐渐散去。这一年, Markovic和那时在纽约州立石溪大学但现已到了布朗大学工作的Jeremy Kahn给出了证明通往几乎Haken猜想的进程中的关键的一步。他们证明的结果, 下文我们称之为的”不可压缩曲面定理”, 宣称每一个紧致的双曲三维流形中包含一个不可压缩曲面(即该曲面可能会自我相交而不是嵌入的)。

 

Kahn和Markovic给出的证明是一个很典型地成功利用了三维拓扑和几何的相互联系而完成的一个例子: 不可压缩曲面是一个纯粹的拓扑命题, 但是为了证明它, Kahn和Markovic却使用了大量双曲几何所能提供的结构和信息。

 

为了在三维流形中构造曲面, Kahn和Markovic使用了一个双曲几何的特性，称之为“指数级混合”。这意味着如果你从流形上一个任意小的邻域开始, 选择一个方向, 并且假设你的邻域开始沿着该方向顺流而下, 那么你的这个很小的邻域会逐渐地扩散和环绕该三维流形, 进而可以以任意的方向经过任意的一点。更进一步地, 这个邻域散开的过程是以指数增长级的速度进行的。

 

这样的混合性质是双曲三维流形所特有的, 它源于如下的事实: 和欧氏空间不同, 双曲空间中的两条直线或者换言之测地线会彼此迅速的分开。比如你在双曲圆盘中取一个很小的邻域, 然后让它沿着某个方向开始移动, 那么该移动的邻域会以指数级增长变大的。在一个紧致的三维流形中, 一个移动的邻域同样会指数级地增长, 但由于整个流形是有限的, 这个邻域最终会绕着该流形自我覆盖无限多次。更一步(尽管更难去证明)的事实是该邻域会均匀地围绕该流形, 也就是说会以大概相同的频率经过所有的地方。

 

这个”指数级混合”的性质在过去25年来已经被数学家们充分地研究清楚了, 并且相关的”测地流”的统计性质也已经被彻底的研究过: 即当该邻域移动时, 它会经过多长时间以怎样的频率经过某个特定点。但是直到Kahn和Markovic证明了不可压缩曲面定理, 数学家们一直都没有能成功地利用这个混合性质来在流形中来构造拓扑的结构。 (另一位数学家, 德州农工大学的Lewis Bowen在之前已经尝试利用指数级混合的性质来在三维流形中构造不可压缩曲面, 但是他的工作遇到了一些技术性的障碍而没有能成功。)

 

那么如何使用指数级混合的性质来构造拓扑和几何的结构呢, 让我们先看一个比构造曲面更简单的任务 : 构造一个闭测地线使得它的长度接近于我们事先所指定的一个充分大的数, 比如R。

 

为了构造这样的闭测地线, 我们在流形上取任意的初始点并在该点处选定一个任意的初始方向, 然后想象在该点处的一个小邻域内的有一个朝向该初始方向的水龙头, 打开其开关。这样水流将会沿着测地线的方向开始流动, 只要R足够大, 那么测地流的混合性将意味着当水流在移动R长度后, 水流将会均匀地散布到整个流形上。特别地是, 至少其中一个(事实上很多)水滴将会以初始的方向返回到初始点的位置。那么, 我们就可以在该水滴所移动的测地线的轨迹和初始点之间放连接起来, 这样就产生了一个非常接近测地线的闭曲线, 并且它的长度也十分接近于R。进一步不难证明，在流形上稍拉紧一点这个闭曲线, 我们就能得到一个完全测地的闭曲线。

 

事实上这个方法不仅仅构造了我们所要的长度接近于R的闭测地线。而且在刚才的过程中, 我们可以选取任意的点和初始方向, 因而许多水滴都将返回到该选定的初始点, 这样我们就得到了大量的闭的测地线。事实上，这是利用指数混合的性质去构建结构的一般性指导原则。

 

指数级混合意味着”只要你在流形上发现了一个结构, 你必将将会发现大量的这样的结构”, Calegari这样解释说。

 

Kahn和Markovic使用了类似于我们构造闭测地线的途径去构造了”一条裤子”， 这是一类拓扑等价于有3个洞（即一个腰口和两个裤脚口）的球面的曲面。一条裤子是构造除了球面和环面以外所有的紧致曲面的基本模块---比如, 如图8所示的粘合两条裤子就可以产生一个双环面。

 

图8: 上面是一条裤子。下图左边的上下两条裤子沿着边界粘合而成了右下角的一个双环面曲面。

 

任意给定的一个充分大的数R, Kahn和Markovic证明了可以在流形中构造大量的裤子使得他们的两个裤脚边和腰口边的长度是接近于R, 并且是近似于完全测地的闭曲线。从双曲几何的角度看, 这意味着这些裤子的裤脚边和腰口边是看起来很直的(译者注: 意思是说这些边从裤子上的双曲几何来看都是直线, 即测地线)。

 

他们也证明了一条裤子的每个开口处的对面都有另外一条裤子的存在。Kahn和Markovic通过匹配开口处两边对应的裤子, 从而构造了大量的紧致的曲面。 并且通过调整裤子上连接三个开口处的三条侧边, 他们可以使得这些曲面是几乎测地的。总所周知，几乎测地的曲面在所处的三维流形中是不可压缩的曲面, 因而Kahn和Markovic的构造就证明了不可压缩曲面的存在性。

 

他们的方法不仅证明了一个三维流形中包含一个不可压缩曲面, 而且”几乎所有点处都有大量的几乎测地曲面”, Calegari这样说。

 

Kahn和Markovic的工作为他们赢得了2012年度的克莱研究所奖, 该奖项是由克莱研究所每年颁发一次，授予那些做出重大的突破和研究进展的数学家们。

 

“Kahn和Markovic的方法和他们的结果一样引人瞩目, 也无疑会启发更多的进一步的研究”, 布朗大学的Jeffrey Brock在2011年末在一篇介绍关于Kahn和Markovic的工作的文章中这样预测道。

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