龚明
地球内部的压强有多大?
2023-6-23 19:40
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地球内部的压强有多大?

中国科学技术大学,龚明

游泳的时候,我们可以感受到来自水的压力;潜水越深,压力也就越大。类似的,如果我们对一块砖头施加足够大的压力,它会被粉碎。这也是为什么山峰不能超过几十千米的原因。那么,我们自然会问,在地心处,其压强有多大? 这个问题可能让无数孩子和科学家着迷 --- 我们回想一下一百多年前凡尔纳的小说《地心游记》,以及近二十年拍摄的相关电影就清楚了。目前人类能探测地球的最深处也就10千米左右,和地球的6400千米的半径相比,这只是地壳表面薄薄的一层。我们对地幔、地核的性质了解就更少了。我们进一步可能会继续问,地球内部是固体,还是液体,以及其温度有多高等等。这些问题都很重要,但这篇文章我们中关注一个问题,即地球内部的压强到底有多大?我们只需要用最简单的力学知识,就可以了解这一点。

首先,让我们假设地球内部和水一样,其压强随着深度满足阿基米德公式 \begin{equation*} P(0) = \rho g R. \end{equation*} 其中密度$\rho = 5.5 \times 10^3$ kg/m$^3$,加速度$g = 9.8$ N/kg,半径 $R=6371$ km。我们还可以利用$g = G M/R^2$,其中地球质量$M = 4\pi R^3 \rho/3$,那么得到\begin{equation*}P(0) = {4\pi G \rho^2 R^2\over 3}. \end{equation*}这里万有引力常数$G =6.67 \times 10^{-11}$ $m^{3}$ kg$^{-1}$ s$^{-2}$。代入参数直接计算可以得到地心处的压强\begin{equation*} P(0) = 343 \text{ GPa}. \end{equation*}这是一个巨大的压强,但目前可以在实验室实现; 比如最大的金刚石对顶砧实验可以实现超过500 GPa的压强。不过这个估计,忽略了一个细节,即重力和深度有密切关系。所以上面的估计其实是不太准确的。为此,我们不妨假设地球密度是均匀的,但是压强和深度有关,所以我们有\begin{equation*} dF =  (P(r) - P(r+dr)) dS = G (4\pi r^3\rho/3) \rho dS dr /r^2. \end{equation*} 这个方程其实利用了在$r$处压力和重力处处平衡,得到 \begin{equation*} P(0) = {2\pi G \rho^2 R^2\over 3}. \end{equation*} 这个结果是上面的粗糙估计的一半,所以我们有\begin{equation*} P(0) = 171.5 \text{ GPa}. \end{equation*}

第二个估算也不太准确,它忽略了很多重要的因素,比如在地下,随着温度升高,压强也增大。这个结论可以从热力学最基本的公式$PV = NRT$可以得到 --- 假设对固体它也定性成立。同时,我们也忽略了密度的影响。随着压力增大,原子之间间距减小,密度会增大。考虑这些因素,压强可能在二者之间,也可能比二者都大。的确,我们查资料就可以看到,这个压强在 360 - 370 GPa,和我们的估计相差不大。这么大的压强,所有固体的晶体结构都被破坏掉了,原子呈现出完全不同的样子。此外,地心处温度很高,原子最可能形成液体的状态,但这种液体的物理性质,一定和地球表面的液体性质完全不同。既然是液体,显然越重的元素越应该处于地球的核心。很多科学家提出,地心应该是液态铁构成的,这种元素的运动,可能是地磁场起源的重要原因。这个神秘的状态,目前是高压物理的研究重点,在将来科学家可能可以在实验上实现它们。可见,尽管今天的科学已经取得了很大的进步,我们对脚下的土地,依旧有太多不了解的地方。

earthinn.jpeg

(地球内部结构,图片来自网络)


highpressuredensity.png

(固体体积和密度和压强的关系,来自1987年发表的论文。在地球内部,压强很大,物质的密度也很大)

:这个问题是高中物理竞赛题的一个改版。在物理竞赛中有一个很有名的题目,即如果一个隧道穿越地球,计算一个物体自由落体运动的周期。其关键点在于,随着深度不同,重力加速度$g(r)$也不同。这个题目也是根据凡尔纳的《地心游记》所设想出的一条假想隧道而设计出来的。本文的简单的估算,可以让我们对地球内部的性质有一个大概的了解,而所用的知识,无非是最简单的经典力学知识而已。

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