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我对数学的管窥蠡测

已有 13569 次阅读 2013-2-22 22:08 |个人分类:杂感|系统分类:观点评述| 数学, 管窥蠡测

    最近网上关于数学本质的讨论突然热了起来作为中科院数学院的研究人员虽然本人专业不是纯粹数学而是应用数学但也算一个数学相关领域的从业人员吧对这些讨论自然是关心的于是不揣孤陋也来凑个热闹

 

1. 数学是不是绝对真理

 

    这是曹教授最近一篇博文的题目假如要在数学的严密性之下讨论这个问题那么首先要定义什么是绝对真理”。我给出以下定义:“一个命题如果在任何情况下都对那它就是绝对真理。”实际上这本身就会导出数学上的一个著名悖论命题世界上没有绝对真理”。(这可以替换成曹教授命题:“任何真理都只是在一定条件下是真理超过这一定条件它就成了假理。”)那么这个命题或曹教授命题本身是不是绝对真理”?如果回答是True”,那么世界上不就有绝对真理了吗如果回答是False”,那么这个命题的例外不就是绝对真理了吗

    从数学角度看马克思的观点:“无数相对真理总和就是绝对真理是很可笑的在欧氏几何里直线外一点能且只能引直线的一条平行线平行公设或第五公设);在罗巴切夫斯基几何里则至少可引两条在黎曼几何里也可能一条都没有把它们总和到一起就成了谬论了因为把它们用于不同情况是无法理解的

 

2公理化体制与数学的对与错

 

    数学尤其是以公理化体制为基础的数学它仅由很少几条公理出发发展出整个学科例如欧氏几何的五条公设点集扑拓中关于扑拓的定义3)。在一个数学分支里对错只依赖于你的前提假设即公理因此数学与物理学的最根本区别是物理学定律是对观察现象的总结需要实验验证而纯粹数学靠的是逻辑推理你不能说:“事实证明某个数学公式错了。”

    至于数学的应用则只是你认为某个数学工具可用于描述现实世界中的某种现象如果发现错了那是你找错了工具不是数学错了可以说数学的对错与真理无关数学中充满了现实中根本不存在的东西最简单的例子是在几何学中,“只有位置没有大小这在现实中是不可能有的拓扑学中的克莱茵瓶著名庞加莱猜想中的三维球面等等都是现实世界中不存在的如果你要对数学扯上实践是检验真理的唯一标准”,那真是风马牛不相及了

    二十世纪初当测度论与集合论均已完善之后数学家们曾经相信数学已臻于完美无懈可击庞加莱甚至在1900年巴黎数学家大会上宣布:“现在我们可以宣布完全的严格性已经达到!”但不久后这种美好感受就被罗素打破了罗素在1919年提出一个后来被称为罗素悖论的问题一个岛上有个理发师他宣布给岛上所有不给自己刮脸的人刮脸那他给不给自己刮脸如果他给自己刮脸那他就不该给自己刮脸如果他不给自己刮脸那他就应该给自己刮脸这个悖论动摇了集合论的基础S为不给自己刮脸的人的集合那么理发师是否属于S根据以上讨论如是”,则可推出不是”;如是不是”,则可推出”。

    为了解决这种矛盾希尔伯特提出自己思索已久的克服数学危机的方案称为形式主义纲领希尔伯特纲领”,目的是建立一个包罗万象的数学体系使得每个命题在这个体系下都可以指出对错

    希尔伯特的这种努力不久后被逻辑学家哥德尔打破了哥德尔在1931年证明了后来被称为不完全性的定理Godel Incompleteness Theorem):任何数学体系均有它既不能证明也不能证伪的命题

    最著名的在现有数学体系ZFC体系下不能证明或证伪的是连续统假定”。即没有一组数它比有理数多又比实数少还有三个等价命题:“选择公理”、“Zorn引理”、“超限归纳法”,也是现有数学体系下不能证明或证伪的。但现代数学一般假定它们都是对的

    也许数学并不像人们想象得那样完美无懈可击

 

3. 纯粹数学面临的挑战

 

    数学特别是纯粹数学决不是万能的

    我对纯粹数学家充满钦佩特别是那些像证明费马大定理的Wiles证明庞加莱猜想的Perelman他们代表了当代人类智慧的顶峰但是这类经典的数学证明方法还能走多远数学家Horgan著文说:“费马大定理的证明是不是一种正在消逝的文化的最后挣扎呢Wiles避开了计算机和应用以及其他种种令他讨厌的东西但是将来Wiles式的人物会越来越少。”

    再说一个几百页的证明全世界只有十几、至多几十人能看懂这种结果可靠吗一位数学家Thurston:“把数学在原则上简化为形式证明是20世纪所特有的一个不可靠的念头高度形式化的证明比借助更直观的证明更有可能出毛病。”

    最重要的是到底有多少数学问题能被严格证明出来一位科学家Graham:“背离传统的证明的潮流或许是不可避免的单靠人的思维无法证明的东西是一片汪洋大海与这片大海比起来你能证明的东西或许只是一些孤零零的小岛。”是的谁也不能保证黎曼猜想或哥德巴赫猜想在将来的某一天一定会被传统方法证明出来况且纯粹数学的难题多如牛毛

    千万别把数学看作万能的个人甚至认为纯粹数学正走向没落将来很可能成为极少数天才的游戏

 

4. 数学的出路

 

    面对汪洋大海特别是高科技不停地向这个大海增加新的难题而纯粹数学又只能解决一些孤岛那么出路在那里呢个人以为

    (1计算机

四色问题是一个很好的例子计算机证明了人类仅凭大脑至今做不到的事情吴文俊先生等创立的机器证明计算机的日益智能化这些走向表明将来计算机会代替人类进行思考当然机器思考必须是人类思考的延伸只能在人类思考的指导下进行的

    (2新的数学工具

    微软曾组织一些科学家2006年写了一份报告:“面向2020年的科学(Towards 2020 Science)认为生命科学计算机科学和复杂性理论等正在催生一种新的数学它本质上是离散型的并与计算机密切联系其实许多科学家相信以微积分为代表的连续数学统治了科学界几百年但是由于计算机的出现以及生命科学现代经济学复杂性科学等的兴起新型的离散数学将很快代替连续数学而登上统治宝座

    作为一个数学爱好者我深爱数学我决不怀疑数学的重要性特别是理工科包括经济学生命科学等的青年学子要想在学术界行走江湖掌握基本的数学工具是立身之本但在快速发展的高新科技面前最古老也最神圣的数学学科也受到了冲击一场数学革命势在必行 

 

参考文献

[1] 李文林《数学史教程》高等教育出版社北京2000.

[2] V.JKatzA History of MathematicsReprinted by China Machine Press2004.

[3] 张树和《数学聊斋》科学出版社北京2008.

[4] SEmmott (Editor-in-Chief), Towards 2020 ScienceMicrosoft Corp., 2006国家自然科学基金委编译《面向2020年的科学》



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