概率论真有频率论与贝叶斯论之分吗？（2）

武汉大学 叶晓明

前边证明了传统经典测量理论歪曲偷换了数学概念，必须排除于频率论与贝叶斯论的议题之外，那么，现在基于纯正的数学概念来谈谈究竟有没有频率论和贝叶斯论的学派之分。

概率认知来源于频率认知，但频率只是我们要利用的规律，它不是我们的目的，而我们目的是要对一个未知事件做出判断，即测量。测量就是给被测物理量赋予数值的过程，这个赋值的过程本身就是一个猜测的过程，是一个合乎数学规律的猜测过程。

测量就是猜数，这里还是以猜骰子的点数为例。

X是变量，其所有可能取值是1、2、3、4、5、6。

P(X)是变量X取各个数值的概率---既可以理解成无限次抛掷试验时该数值出现的频率，也可以理解成一次抛掷时该数值出现的可能性。前者是频率理解—按客观事实理解，后者是贝叶斯理解—按主观判断理解。

所以，频率理解和贝叶斯理解不可分割！这就是数学教科书中找不到这种所谓学派分类的道理。

现在，要解决准确的测量问题，于是引入了数学期望和方差概念。这样，根据上表就可以得出：数学期望E(X)=3.5和方差σ²(X)=2.92。

按照频率理解，那就是无穷次采样试验的所有数值的密度分布区间的中心值为3.5，其宽度评价值为2.92。

按照贝叶斯理解，那就是一次采样的未知试验值一定存在于一个以3.5为中心以2.92为方差的概率区间内。

显然，贝叶斯理解对一个未知量的取值范围做出了主观判断，这就是测量。即测得值为3.5，方差为2.92。可见，如果只停留于频率理解而不能上升到贝叶斯理解，您将无法理解测量。

当然您可能会说，6个数值中没有一个是3.5，测量完全失败了---但这种理解是错误的。这里是用3.5和2.92二个数值共同表示一个未知真值的存在区间---测量的目标是要用二个数值来表达一个真值的存在区间！！！真值肯定存在于这个区间内，只能精确到这个程度。测得值只是区间的中心值，它必须和方差一起共同描述真值，所以只提交测得值而不提交方差的测量是不完整的测量。

现在，我们把测量的命题做个修改：请猜出密封罐子中10个骰子的平均值。那么，这时您就会给出答案了：其值存在于一个以3.5为中心以0.292为宽度评价的概率区间内。即测得值为3.5，方差为0.292。

如果把测量命题再做个修改：请猜出密封罐子中100个骰子的平均值。那答案就是：其值存在于一个以3.5为中心以0.0292为宽度评价的概率区间内。即测得值为3.5，方差为0.0292。

可以看到，随着测量次数的增多，真值的概率区间会越来越窄。显然，这一原理的最关键的要点是：每次测量要彼此独立互不相关，条件过程要随机任意，绝对不能相同！---可见，经典测量理论中的“相同测量条件”概念是对概率论的最大歪曲。

测量工程中的问题是误差问题，而误差跟密封罐子里的骰子一样，其数值无法知道，它干扰了我们获得真值。所以，测量的关键要领是研究误差的来源，研究误差跟测量条件的关系，通过设计有效的测量方案改变相关条件，让误差变动起来，误差变动起来后就可以让它实现自我抵偿，跟猜骰子的平均值的道理一样。任何误差都可以这样实现自我消减，不存在什么系统误差和随机误差的分类问题。

而且，误差变动起来后，我们还可以以函数模型实现误差的纠正算法，这也是一种对抗误差提高测得值品质的高效方法。请关注我提出的新概念测量误差理论，新理论是以真值的概率区间为测量目标，而不是像传统经典理论那样提交所谓“测得值的发散性”。

总之，频率理解和贝叶斯理解是概率的二个角度，它们不可分割。根本不存在频率学派和贝叶斯学派的分类之说，所谓分类是传统经典测量理论因为歪曲偷换了数学概念、以致于其理论无法对真值的存在区间做出判断，不得已而坚称自己是纯“频率学派”，仅此而已。

                         2024 2 5

参考文献

[1] 叶晓明 凌模 周强 王为农 箫学斌, 误差理论的新哲学观.计量学报 , volume 36, 2015, 6, Pages: 666-670.

[2] X-M. YE, H-B LIU, M. LING, X-B. XIAO, The New Concepts of Measurement Error's Regularities and Effect Characteristics. Measurement, Volume 126, October 2018, Pages: 65-71.

[3] X-M. YE, X-B. XIAO, J-B. SHI, M. LING, The New Concepts of Measurement Error Theory. Measurement, Volume 83, April 2016, Pages: 96-105.

[4] X-M. YE, S-J. DING, Comparison of Variance Concepts Interpreted by Two Measurement Theories. Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Volume 20, Number 7, 2019, Pages: 1307-1316.

[5] H-S. SHI, X-M. YE, C. XING, S-J. DING, A New Theoretical Interpretation of Measurement Error and Its Uncertainty. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2020. DOI: https://doi.org/10.1155/2020/3864578.

[6] H-S. SHI, X-M. YE, C. XING, S-J. DING, Origin and Evolution of Conceptual Differences between Two Measurement Theories, Fuzzy Systems and Data Mining VI, 2020, Pages:66 -77.

[7] H-B. LIU, X-M. YE, J-B. LIU, S-J. DING, Mathematical Concepts of Numerical Value and Variable in the Interpretation of Measurement Theory, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Volume 23, Number 9, 2022, Pages:2021-2034.

[8] 叶晓明 丁士俊 师会生. 测量误差理论的真值中心论与测得值中心论. 计量科学与技术, 2021, 65(3): 19-27. doi: 10.3969/j.issn.2096-9015.2021.03.04

[9] X-M. YE, Robust Estimation Method Using Successive Approximation Algorithm to Correct Errors. Frontiers in Artificial Intelligence and Applications, 2022, 363, Pages:518-532.

[10] H-B. LIU, X-M. YE, S-J. DING. Weights Allocation for Optimal Uncertainty Evaluation. Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Volume 24, Number 6, 2023, Pages:1177-1195.

[11] X-M. YE, Measurement Error Theory Based on New Concepts. Hubei Science and Technology Press, 2017.